Vzorčno povprečje

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Vzorčno povprečje je osnovna statistika. Dobimo jo tako, da vzamemo povprečje slučajne spremenljivke na vzorcu.

Če je Y ime te slučajne spremenljivke, potem vzamemo vzorec

$\! Y_1, Y_2, Y_3, \cdots , Y_n$

vrednosti Y na vzorcu in dobimo vzorčno povprečje

$\! \overline{Y} = \frac{1}{n} ( Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n )$

(zgoraj je samo zelo fensi in kompliciran zapis spodnjega...)

...kar po domače pomeni: seštej vsa števila skupaj in jih deli s številom vseh števil.

Primer povprečja treh števil 4, 5 in 6:

$\overline{\{4,5,6\}} = \frac{4+5+6}{3} = \frac{15}{3} = 5$

Matematično upanje

Matematično upanje vzorčnega povprečja $\overline Y$ je enako povprečni vrednosti spremenljivke Y na celotni populaciji.

$\! E( \overline{Y} ) = E(Y)$

Dokaz

$E\left( {\overline Y } \right)$	$= \sum_{vsi\,vzorci} \frac{1}{{N \choose n}} \cdot \overline Y =$
	$= \sum_{vsi\,vzorci} \frac{1}{{N \choose n}} \cdot {{Y_{i + 1} + Y_{i + 2} + \cdots + Y_{i + n} } \over n} =$
	$= \sum_{x = 1}^n \frac{1}{{N \choose n}} \cdot {1 \over n} \cdot Y_j \cdot (st\ vzorcev\ ki\ vsebujejo\ jti\ element\ populacije) =$
	$= \sum_{j = 1}^N \frac{1}{{N \choose n}} \cdot \frac{1}{n} \cdot Y_j \cdot {{N - 1} \choose {n - 1} } =$
	$= \sum_{j = 1}^N {1 \over N}(Y_j )=$
	$= E(Y)\;\!$

N: velikost populacije
n: velikost vzorca
Y: slučajna spremenljivka

jemljemo vzorce brez ponavljanja

$\! E( \overline{Y} ) = \sum_{vsi\ vzorci} \frac{1}{ {N \choose n} } \cdot \overline{Y}$

$\! = \sum_{vsi\ vzorci} \frac{1}{ {N \choose n} } \cdot \frac{1}{n} \cdot \left( Y_{i_1} + Y_{i_1} + Y_{i_2} + Y_{i_3} + \cdots + Y_{i_n} \right)$

$\! = \sum_{\begin{matrix} j \in populacija \\ j = 1 ... N\end{matrix} } \frac{1}{ {N \choose n} } \cdot \frac{1}{n} Y_j \cdot ( st\ vzorcev\ ki\ vsebujejo\ j )$

zanima nas število vzorcev, ki vsebujejo j je natanko $\! { N-1 \choose n-1 }$

$\! = \sum_{j = 1 ... N} \frac{1}{ {N \choose n} } \cdot \frac{1}{n} \cdot { N-1 \choose n-1 } \cdot Y_j =$

$\! = \sum_{j = 1} \frac{}{ \frac{N \cdot (N - 1) \cdot \cdots \cdot (N - n+1) }{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n} } \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{ (N-1) (N-1) \cdots (N-n+1) }{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n-1)} \cdot Y_j =$

ko upoštevamo vse kar se pokrajša dobimo: $\! \sum_{j = 1} = \frac{1}{N} Y_j = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N Y_j = E(Y_j)$

dobimo aritmetično sredino celotne populacije

Izrek 2

Naj bo Y spremenljivka na populaciji velikosti N, $μ = E (Y)$ , $σ 2 = D = D (Y)$ vzorčimo brez ponavljanja.

Velja:

$E(\overline Y) = E(Y) = \mu$
Vzorčna disperzija

$D(\overline Y) = D(Y) \cdot \frac{(N-n)}{n\cdot (N-1)}$ $\longrightarrow^{n \to \infty } {{D(Y)} \over n}$

Če je Y na populaciji normalno porazdeljena potem je $\overline Y$ na vzorcih normalno porazdeljena z $\overline Y$ ~ $N( \mu , {\sigma \over {\sqrt n }}$

$\sigma (\overline Y) = {\sigma (Y)} \over {\sqrt n }$

Če je Y poljubno porazdeljena z $E (Y) = μ$ in $\sigma(Y) \cdot \sigma$ , potem je $\overline Y$ približno normalno porazdeljen z $\overline Y ~ N( \mu m, \sigma \over {\sqrt n} )$