Vrsta

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Če v zaporedju pobrišemo vejice in jih nadomestimo s plusi dobimo vrste:

$a 1, a 2, a 3,..., a n$

$a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n$

S 1 = a 1

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n

S 1 = 1

S 1 = S n + a n + 1

S_i: zaporedje delnih vsot vrste S, ki je vsota vseh členov zaporedja

Če zaporedje $S i$ konvergira, potem pravimo da tudi vrsta S konvergira in je S enaka limiti zaporedja $S n$ .

$\lim_{n \to \infty} S_n$

Natanko takrat, ko zaporedje $S n$ divergira tudi vrsta S divergira.

$\sum_{n=1}^\infty a_n , a_n^0$

$S n$ je naraščajoče, konvergira natanko takrat, ko je omejeno

$sup S_n = \lim S_n$

če ni omejeno je divergentno

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} , p>0$

$S_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^p} \le S_{2-1} = \sum_{n=1}^{2^n-1} \frac{1}{n^p}$

$=1 + \left( \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} \right) + \left(\frac{1}{4^p} + \frac{1}{5^p} + \frac{1}{6^p} + \frac{1}{7^p} \right) + ... + \frac{1}{(2n-1)^p}$

$\le 1 + \left( \frac{1}{2^p} - \frac{1}{2^p} \right) + \left(\frac{4}{4^p} \right) + \frac{8}{8^p} + ... + \frac{2^{n-1}}{\left(2^{n-1}\right)^p}$

$= 1 + \frac{1}{2^{p-1}} + \frac{1}{4^{p-1}} + \frac{1}{8^{p-1}} + ... + \frac{1}{(2^{n-1})^{p-1}}$

$= \left(1\right)^{p-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{p-1} + \left(\frac{1}{2^n}\right)^{p-1} ...$

torej imamo geometrijsko vrsto

p > 1 konvergira
p ≤ 1 divergira

0 < p < 1

$\frac{1}{n^p} = \left( \frac{1}{n} \right)^p > \frac{1}{n}$

$\sum_{n=1}^{\infty} bn , bn \ge 0$

Če $\sum_{n=1}^\infty b$ konvergira $\Leftrightarrow S^b_n$ konvergira $\Rightarrow S_n^a$ je omejen, $\Rightarrow$ konvergira

$s u p S n = l i m S n$

Vsebina

1 Hitrost konvergence
- 1.1 Primer
2 Primeri
3 Vrsta s poljubnimi členi
- 3.1 Pogojna konvergenca
4 Alternirajoče vrste
- 4.1 Zaporedje vsot
5 Vsota vrste
- 5.1 Primer
- 5.2 Primer

Hitrost konvergence

Kvocient dveh zaporednih členov

$\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ členi padajo proti 0</math>

Kvocientni kriterij

$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = L < 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergira

$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = L > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n$ divergira

$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = L = 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n$ lahko konvergira ali divergira

Primer

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!} = 1 + 2 + 2 + \frac{8}{6} + \frac{16}{24} + \frac{32}{120} + \frac{64}{720} +$

$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} = \lim \frac{2}{n+1} = 0$

Primeri

Primer 1

Imamo zaporedje

$1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16} + ... + \frac{1}{2} n + 1$

S 1 = 1

$S_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$S_3 = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

$S_4 = \frac{7}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8}$

$S_5 = \frac{15}{8} + \frac{1}{16} = \frac{31}{16}$

$S_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$

$\lim S_n = 2$

Torej je tudi vsota vrste $1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16} + ... + \frac{1}{2} n + 1 = 2$

Primer 2

Geometrijska vrsta je konvergentna če je kvocient manjši od 1

$1 + c + c^2 + c^3 +c^4 + ... +c^{n-1} + ... = S \,\,\,\, |c| 1$

$S - 1 = c + c 2 + c 3 + c 4 + ... + c n - 1 + ...$

$= c (1 + c 2 + c 3 + c 4 + ... + c n - 2 + ...)$

$S (1 - c) = 1$

$S n = 1 + c + c 2 + c 3 + c 4 + ... + c n - 1$

$S_n \cdot 1 = c + c^2 + c^3 +c^4 + ... +c^{n-1} =c (1 + c^2 + c^3 +c^4 + ... +c^{n-2})$

Primer 3

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + ...$

$S_1 = \frac{1}{2}$

$S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$

$S_3 = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{3}{4}$

$S_4 = \frac{3}{4} + \frac{1}{20} = \frac{4}{5}$

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$\forall n : 1 = A (n+1) + Bn$

1 = A + n (A + B)

A + B = 0

$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...$

$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

Limita gre proti 0, zato je vsota enaka 1.

Primer 4

Imamo zaporedje $a 1, a 2, a 3,..., a n$ želimo izračunati če konvergira $a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n$

S 1 = a 1, S n + 1 = S n + a n + 1

S 2

S 3

Zaporeje konvergira proti limiti natanko takrat, ko $ε > 0$ potem obstaja tako število $n 0$ da sta poljubna 2 člena narazen manj kot $ε$

$\exists n_0, n>n_0, p>0, |a_n - a_{n+p}| < \epsilon$

Zaporedje bo konvergiralo če bo od nekega člena naprej vsota poljubno majhna. $S n - S n + p = a n + 1 + a n + 2 + ... + a n + p$

Če členi ne konvergirajo tudi vsota ne more konvergirati.

Harmonična vrsta

$\sum_{n-1}^{\infty} = 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{n} + ...$

n = p

$a n + 1 + a n + 2 + a n + 3 + ... + a n + p =$

$= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + ... + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + ... + \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$

Harmonična vrsta je divergentna.

Vrsta s poljubnimi členi

$a n$ poljubni, $\lim a_n = 0$

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

$\sum_{n=1}^\infty | a_n |$

Lahko konvergira na 2 načina:

absolutno konvergentna vrsta: če je 2. konvergentna sta obe vrsti konvergentni

pogojno konvergentna vrsta: če 2. vrsta ni konvergentna (je divergentna) je 1. pogojno konvergentna

Pogojna konvergenca

Alternirajoče vrste

Alternirajoče vrste so vrste kjer se predznaki zamenjujejo (+,-,+,-,+,-)

$\sum_{n=1}^\infty a_n (-1)^n \;\;\;\;\; a_n>0$

Pri takih vrstah lahko ugotovimo konvergenco z Leibniz-ovim izrekom:

Če je zaporedje padajoče in konvergira proti nič, potem vrsta $\sum_{n=1}^\infty a_n (-1)^n a_n$ konvergira.

Zaporedje vsot

$\;\! S_{2N} > S_{2N+1}$ Zaporedje sodih delnih vsot je padajoče in navzdol omejeno.

$\;\! S_{2N+1} < S_{2N+2}$ Zaporedje lihih delnih vsot je naraščajoče in navzgor omejeno.

S                S
 2N               2N+2


       S
        2N+1

$\;\! S_{2N+2} = S_{2N} - a_{2N+1} + a_{2N+2} < S_{2N}$

$\lim_{\N \rightarrow \infty} (S_{2N} - S_{2N+1}) = \lim_{\N \rightarrow \infty} a_{2N+1} = 0$

Vsota vrste

Množica tistih vrednosti x, za katere je $\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$ konvergentna, se imenuje konvergenčno območje.

$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$

	$\;\!S_1(x) = u_1(x)$
$\;\!S_{n+1}x =$	$\;\!S_n(x) + u_{n+1}(x)$

Primer

$\sum_{n=1}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + ... = \frac{1}{1-x}$

|x| < 1

Konvergenčno območje te vrste je interval:

(-1,1)

Za natančnost 0.1:

x	št. členov	priti moramo do
$\;\! x = 0$	1	1
$x = \frac{1}{2}$	5	2
$\;\! x = 0.9$	? (veliko)	10

bolj gremo proti robu, več členov rabimo da vrsta konvergira

Konvergenca številskih vrst: Zaporedje $a_n \rightarrow a$ (konvergira proti a) če lahko za nek $ε > 0$ najdemo tak indeks zaporedja, da je za vsak $\exists N \forall_n > N$ manjši od tolerance epsilon $| a n - a | < ε$ .

Definicija

Če

na intervalu (a,b) velja $| u i (x) | < a i$

Potem pravimo, da je vrsta $\sum a_i$ majoranta vrste $\sum u_i(x)$

Izrek: Če ima $\sum_{n=1}^\infty u_i(x)$ konvergentno številsko majoranto na nekem intervalu $\Rightarrow$ je enakomerno konvergentna na tem intervalu

Izrek: Če so $u i (x)$ za (i-0,...) zvezne funkcije in je $\sum_{n=1}^\infty u_i(x)$ enakomerno konvergentna na nekem intervalu $\Rightarrow$ vsota u(x) je zvezna funkcija.

Primer

$\sum_{n=1}^\infty (x^{n+1} - x^n) =$	$x 1 - x 0 + x 2 - x + x 3 - x 2 + ...$
	$S 1 (x) = x 1 - x 0$
	$S 2 (x) = - x 0 + x 2$
	$S 3 (x) = - x 0 + x 3$
	$S n (x) = - x 0 + x n$

$S(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 & |x|<1 \\ \mbox{ne konvergira} & |x| > 1 \\ 0 & x = 1 \\ \mbox{ne konvergira} & x = -1 \end{matrix} \right.$

Zveznost

Če so funkcije $u i (x)$ zvezne in vrsta $\sum_{i=1}^\infty u_i(x)$ na intervalu [a,b] enakomerno konvergentna in je njena vsota $u(x) = \sum_{i=0}^n \Rightarrow \int_a^b u(x) dx = \sum_{i=1}^\infty \int_a^b u_i(x) dx$

Če so funkcije u_i(x) odvedljive (torej tudi zvezne) in vrsta $\sum_{i=1}^\infty u_i(x)$ enakomerno konvergentna na intervalu [a,b], potem je tudi vsota te vrste odvedljiva $\Rightarrow \sum_{i=0}^n u_i(x)$ in $u'(x) = \sum_{i=0}^\infty u_i'(x)$

Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Vrsta«

Kategoriji: UL/FRI/VSP-RI/ANA2 | Matematika

Vrsta

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Vsebina

Hitrost konvergence

Primer

Primeri

Primer 1

Primer 2

Primer 3

Primer 4

Harmonična vrsta

Vrsta s poljubnimi členi

Pogojna konvergenca

Alternirajoče vrste

Zaporedje vsot

Vsota vrste

Primer

Primer

Osebna orodja

Imenski prostori

Različice

Pogled

Dejanja

Iskanje

navigacija

Tiskanje/izvoz

orodja