Uporaba trojnega integrala v mehaniki

prostornina območja v

masa telesa

gostota: ρ(x,y,z)

masa:

težišče telesa

dve masni točki

v točki t₁ je masa m₁

v točki t₂ je masa m₂

točka t je težišče.

sledi

(slika: lokalni vektorji točk t1, t2, t in povezava)

neskončno masnih točk

ena os:

rešitev:

primer

polovica krogle →

gostota ρ₁(x,y,z) = x² + y² + z²

izračunajmo težišče!

glede na območje vpeljemo nove - sferične koordinate

Dobimo, da je x_T = 0, zaradi simetrije je tudi y_T = 0

Sledi

Težišče je

vztrajnostni moment

(telesa, ki se vrtijo)

(os z)

Količino

imenujemo vztrajnostni moment

Primer

Izračunajmo vztrajnostni moment polovice homogene krogle glede na os z.

Uvedemo sferične koordinate