UL/FRI/VSP-RI/OVS/Vaje/2006-03-01:Igors

Pogojna verjetnost

Vaja 1

N= 1..21

T... število je deljivo s 3

S... število je sodo

L ... število je liho

Vaja 2

V posodi so 4 bele, 6 črnih kroglic. Vlečemo 2 kroglici brez vračanja.

P(prva je bela) =

P(druga je bela) =

P(druga je bela|prva je bela) =

= (verjetnost, da je 1.bela in hkrati 2.bela)

P(prva je bela|druga je bela) =(simetrija) P(druga je bela|prva je bela) = \frac{3}{9}

P(prva je bela|obe beli) = 1

P(obe beli|prva je bela) = P(druga je bela|prva je bela) =

P(obe beli|vsaj ena bela) =(pomnozimo imenovalec in stevec z 90) =

P(obe beli|natanko ena bela) = 0

P(prva je bela|natanko ena je bela) = (zaradi simetrije, možni rešitvi sta BČ ali ČB)

Monty-Hallov paradoks

okenca
---- ---- ----
|  | |  | |  | Za enim okencem je krof,
|  | |  | |  | za dvema pa vampi
|  | |  | |  |
---- ---- ----

Najprej izberemo eno okence (ne da bi ga odprli).

Nato se odpre eno izmed okenc za katerim so vampi in ki ga nismo izbrali.

Ponudijo nam, da se premislimo. Kaj storiti?

izbrano okence
 |
---- ---- ----
|  | |  | |  |
|  | |V | |  |
|  | |  | |  |
---- ---- ----
      |
   odprto okence za katerim so vampi

Na prvi pogled:

K         V  to ni res ... res je 

V         K  to ni res ... res je 

V resnici:

K V V --- K (V) V

                  --- K  V  (V) 

V K V --- V K (V)

V V K --- V (V) K

Bolje si je premisliti

Neodvisnost

A in B neodvisna:

P(A | B) = P(A)

P(B | A) = P(B)

A₁,A₂,...,A_n so neodvisni, če za poljuben nabor dogodkov Ai₁,Ai₂,...Ai_r

velja:

Vaja 1

Vržemo 2 poštena kovanca

Dogodek A ... prva pade cifra

Dogodek B ... druga pade cifra

Dogodek C ... dvakrat pade cifra

Dogodek D ... dvakrat pade enako

A in B sta neodvisna

A in C sta odvisna, ker je dogodek C nemogoč brez dogodka A

in P(C)>0, P(A)<1

A in D sta neodvisna

Kaj je z dogodki A, B in D?

A in D ter B in D posebaj so neodvisni, skupaj pa so odvisni:

Dogodek D je odvisen od

Izrek o popolni verjetnosti

H_1,H_2, ... H_n tvorijo

popoln sistem dogodkov,

če so paroma disjunktni, njihova unija pa je gotovi dogodek

(t.j. vselej se zgodi natanko eden izmed dogodkov H_1, H_2, ..., H_n)

P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + ... P(H_n) \cdot P(A|H_n)

Vaja 1

J ... Janez da šmarnico

L ... Lojze da šmarnico

S₀ ... Miha ni pil šmarnice

S₁ ... Miha je spil 1 kozarec šmarnice

S₂ ... Miha je spil 2 kozarca šmarnice

B ... Miho boli glava

P(J) = 0,6

P(L) = 0,3

P(B|S_0) = 0,4

P(B | S₁) = 0,8

P(B | S₂) = 1

P(B) = ???

Popoln sistem dogodkov

S₀,S₁,S₂

vsota zgornjih treh verjetnosti je 1

Kolikšna je verjetnost, da Miho boli glava?