Pogojna verjetnost

Definicija

B se je zgodil, zanima nas kakšna je verjetnost da se je zgodil tudi A

Primeri

iz množice 1 do 21 slučajno izberemo 1 število

T

število je deljivo s tri

S

število je sodo

L

število je liho

v posodi so 4 bele in 6 črnih kroglic

iz posode potegnemo na slepo 2 kroglici brez vračanja

zanima nas:

P(1.B)

verjetnost da je prva bela

P(2.B)

verjetnost, da je druga bela

brez vračanja:

z vračanjem: ker sta vlečenji neodvisni je enako kot verjetnost da je prva bela

pogojna verjetnost, da je 2. bela, pogojno da je prva bela

izračunamo pogojno iz brezpogojnih verjetnosti

P(2.B | 1.B) =

verjetnost, da je prva bela in hkrati druga bela

pog.verjetnost da je prva bela, pogojno druga bela

zaradi simetrije sta dogodka izmenljiva

pogojna verjetnost, da je prva bela, pogojno da sta obe beli

P(1.B | obebeli) = 1

obratno:

pogojna verjetnost, da sta obe beli, pogojno vsaj ena bela

1-... = izračunano iz nasprotnega dogodka: obe črni

verjetnost, da sta obe beli, pogojno natanko ena bela

verjetnost, da je prva bela, pogojno natanko ena bela

zaradi simetrije sta dogodka "B Č" in "Č B" enako verjetna dogodka, torej 1/2

Monty-Hallov paradoks

imamo troje oken

za enim okencem je skrit krof, za dvema okencema so skriti vampi

najprej izberemo eno okence ne da bi ga odprli

nato se odpre eno izmed okenc za katerim so vampi (od še ne-izbranih dvoje vrat)

potem nam ponudijo, da se premislimo

Kaj storiti?

Recimo, da smo izbrali 1. okence, za drugem se nam prikažejo vampi, kaj storiti?

 i   #
[#] [v] [#]

vemo zagotovo da je za enim od zaprtih okenc krof

na prvi pogled so ostale možnosti kjer je možnost da izberemo pravilnega 1/2:

• K V(1\2)
• V K(1\2)

v resnici:

na začetku so če izberemo prvega možnosti {izbira} (odpre):

K V V (1/3): razpade na dvoje:

{K} (V) V (1/6)

{K} V (V) (1/6)

V K V (1/3) - {V} K (V) (1/3)

V V K (1/3) - {V} (V) K (1/3)

in so verjetnosti v resnici:

• K V (1/3)
• V K (2/3)

Sklep: bolje se je premisliti, ker imamo v tem primeru 2/3 možnosti da dobimo krof.

Neodvisnost

Kaj pomeni da sta A in B neodvisna?

Imamo 3 ekvivalentne definicije:

• P(A|B) = P(A)

ali se je a zgodil je neodvisno od tega ali se je zgodil B

• P(B|A) = P(B)

obratno

Pogosto pišemo krajše:

Kdaj je več dogodkov neodvisnih?

A₁,A₂,...,A_n so neodvisni, če za poljuben nabor dogodkov (i naraščajoč) velja, da je enak produktu verjetnosti:

Primer

Vržemo 2 poštena kovanca

A

prvič pade cifra

B

drugič pade cifra

C

obakrat pade cifra

D

obakrat pade enako

Ali sta A in B neodvisna?

A in B sta neodvisna

Ali sta A in C neodvisna?

sta odvisna, ker se takoj ko se zgodi C zgodi tudi A - dogodek C je vsebovan v dogodku A

in P(C) > 0 in P(A) < 1

Ali sta A in D neodvisna?

sta neodvisna

verjetnost, da pade obakrat enako:

Kaj je z dogodki A,B in D?

Vemo da sta A in B neodvisna, B in D neodvisna in A in D neodvisna. Dogodki so paroma neodvisni, sicer pa so odvisni.

Dogodek D je odvisen od preseka dogodkov

Če se oba dogodka zgodita, potem se zagotovo zgodi tudi D

Izrek o popolni verjetnosti

Popoln sistem dogodkov

Dogodki H₁,H₂,...,H_n tvorijo popoln sistem dogodkov, ko dogodki popolnoma zapolnijo verjetnostni prostor in se ne prekrivajo.

Drugače povedano: če so paroma disjunktni, njihova unija pa je gotovi dogodek. t.j: Vselej se zgodi natanko eden izmed dogodkov H₁,...,H_n .

Primer

Miha se odpravi v vinograd na obisk k dvema vinogradnikoma, Janezu in lojzu. Vsak mu ponudi en kozarec vina. Obadva cvička oz. šmarnici sta enakovredni.

Janez mu ponudi šmarnico z verjetnostjo 0,6. Lojz mu ponudi šmarnico z verjetnostjo 0,3. Verjetnost, da miho boli glava, ne da bi pil šmarnico je 0,4. Verjetnost, da ga boli glava po enem kozarcu šmarnice je 0,8. Verjetnost da ga boli glava po dveh kozarcih šmarnice je 1.

Kolikšna je verjetnost, da miho boli glava?

J

janez da šmarnico

L

lojz da šmarnico

P(S₀)

ni pil šmarnice

P(S₁)

spil 1 kozarec šmarnice

P(S₂)

spil 2 kozarca šmarnice

B

boli glava

ki lahko še razpade na:

Popoln sistem dogodkov:

S₀,S₁,S₂