UL/FRI/VSP-RI/ANA2/Vaje/2006-01-13

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

< UL | FRI | VSP-RI | ANA2 | Vaje

Skoči na: navigacija, iskanje

Vaje z dne 13.01.2006
UL/FRI/VSP-RI/ANA2

Vodil: Martin Vuk

Linearne enačbe višjega reda s konstantnimi koeficienti

$y'' + 3 y' + 2 y = 0$

poišči splošno rešitev dif. enačbe in rešitev ki zadošča pogoju $y (0) = 1$ in $y'(0) = 0$

najprej ugotovimo kakšnega tipa je ta dif. enačba

vsi y nastopajo linearno -> enačba je linearna

v mat. priročniku poiščemo nastavek:

$y = e λ x$

$\! (e ^{\lambda x})'' + 3(e ^{\lambda x})' + 2(e ^{\lambda x}) = 0$

odvajamo in poenostavimo

$\! (e ^{\lambda x} \cdot \lambda )' + 3 e ^{\lambda x} \cdot \lambda +2 \cdot e ^{\lambda x}$

$\! e ^{\lambda x} \cdot \lambda^2 + 3 e ^{\lambda x} \cdot \lambda +2 \cdot e ^{\lambda x}$

$\! e ^{\lambda x} (1 \lambda ^2 + 3 \lambda + 2) = 0$

delimo z $\! e ^{\lambda x}$

$\! (1 \lambda ^2 + 3 \lambda + 2) = 0$

rešimo kvadratno enačbo

$\! \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{D} }{2a}$

$\! D = b^2 - 4ac = 9 -8 = 1$

$\! \lambda = \frac{-3 \pm \sqrt{1} }{2}$

$\! \lambda_1 = \frac{-2}{2} = -1$

$\! \lambda_2 = \frac{-4}{2} = -2$

dobimo 2 rešitvi:

$\! y_1 = e^{-x}$

$\! y_2 = e^{-2x}$

splošno rešitev dobimo kot linearno kombinacijo poljubnih 2 rešitev

$\! y = C_1 \cdot e^{-x} + C_2 \cdot e^{-2x}$

sedaj moramo določiti c_1 in c_2 tako da bodo pogoji izpolnjeni

vstavimo 1. pogoj

$\! 1 = C_1 \cdot e^{-x} + C_2 \cdot e^{-2x}$

$\! y' = - C_1 \cdot e^{-x} -2 C_2 \cdot e^{-2x}$

vstavimo še 2. pogoj

$\! y' = - C_1 \cdot e^{-x} -2 C_2 \cdot e^{-2x}$

$\! 0 = -C_1 \cdot e^0 - 2 C_2 e^0$

sedaj imamo 2 enačbi z 2 neznankama, ki sta linearni

$\! 1 = C_1 + C_2$

$\! 0 = - C_1 - 2 C_2$

poiščemo C_1 in C_2

$\! 1 = -C_2$

$\! 1 = C_1 - 1$

$\! C_1 = 2$

naša rešitev je torej enaka:

$\! y = 2 \cdot e^{-x} - e^{-2x}$

Ko lambda ni realno število:

primer z enačbo nihala

$\! -k\cdot x = F = m \cdot a = m \cdot \ddot{x}$

dobimo dif. enačbo

linearna

m in x sta vedno pozitivna

$\! -k \cdot x = m \cdot \ddot{x}$

$\! x = e^{\lambda t}$

$\! -k \cdot e^{\lambda t} = \ddot{(e^{\lambda t})}$

$\! -k = m \cdot \lambda ^2$

$\! \lambda ^2 = \frac{-k}{m}$

ker je predznak negativen zadeve ne moremo izraziti s korenom, torej nimamo realnih rešitev; dobimo kompleksno število

$\! \lambda = \pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \pm i \sqrt{x}$

$\! y_1 = e^{i \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t}$

$\! =(\cos \sqrt{\frac{k}{m}} t + i \sin \sqrt{\frac{k}{m}} t)$

$\! y_2 = e^{-i \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t}$

rešitev lahko zapišemo kot linearno kombinacijo

$\! y = C_1 \cdot \cos \sqrt{\frac{k}{m}} t + C_2 \cdot \sin \sqrt{\frac{k}{m}} t)$

zgornjemu nihalu dodamo dušenje

dušenje je odvisno od hitrosti -> dobimo dif. enačbo

m = 1

k = 1

$\! \ddot{x} = \beta \dot{x} - x = 0$

zanima nas koliko veliko \beta rabimo, da nihalo ne bo več nihalo ampak se bo samo povrnilo v ravnovesno lego

$\! \lambda^2 - \lambda \cdot \beta - 1 = 0$

$\! \lambda_{1,2} = \frac{- \beta \pm \sqrt{\beta + 4}}{2} \Rightarrow \beta^2 -4$

$\! \lambda_{1,2} = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} = - \frac{1}{2}$

ko ne bodo nastopali i-ji tudi ne bodo nastopali sin in cos (nihanje)

razstavimo na realni del in imaginarni del; realni del da eksponent, imag. pa sin in cos

$\! e^{(- \frac12 + \frac{i \sqrt{3}}{2}) t} = e^{- \frac12 t} \cdot e^{\frac{i \sqrt{3}}{2}t }$

$\! y_1 = e^{-\frac12 t} \cdot \cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t \right)$

$\! y_2 = e^{-\frac12 t} \cdot \sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t \right)$

splošna rešitev = linearna kombinacija zgornjih 2

$\! y = C_1 e^{-\frac12 t} \cdot \cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t \right) + C_2 e^{-\frac12 t} \cdot \sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t \right)$

nihalo odmaknemo na 1 in pustimo, da zaniha (pri 0 je ravnovesna lega):

$\! x_0 = x(t) \Rightarrow x(0) = 1$

$\! x'(0) = 0$

$\! 1 = C_1 e^{-\frac12 0} \cdot + C_2 0$

$\! C_1 = 1$

$\! y' = C_1 (- \frac12 ) e^{- \frac12 t} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} t + 0 + C_2 e^{- \frac12 t} ( - \cos \frac{\sqrt{3}}{2} t )$

$\! y' = - \frac12 C_1 - C_2$

$\! 0 = -\frac12 - C_2$

$\! C_2 = \frac12$

$\! y = e^{- \frac12 t} \left( \cos \frac{\sqrt{3}}{2} t + \frac12 \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t \right)$

Nehomogene dif. enačbe

reši enačbo

$\! y'' + y = 1$

za katero velja

$\! y(0) = 0$

$\! y( \frac{\pi}{2} ) = 0$

najprej rešimo homogeno enačbo

$\! y'' + y = 0$

$\! y = e ^{\lambda x}$

$\! \lambda ^2 e^{\lambda x} + e ^{\lambda x} = 0$

$\! x^2 = -1$

$\! \lambda = \pm i$

$\! y_1 = \cos x$

$\! y_2 = \sin x$

rešitev homogene enačbe je

$\! y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

ker je na desni strani polinom, bo partikularna rešitev prav tako polinom

y = 1

y = 0

enačba da $\! 1 = 1$

$\! y = 1$ je rešitev

rešitev enačbe dobimo tako da pridružimo partikularno rešitev

$\! y = y_p + C_1 y_1 + C_2 y_2$

$\! y = 1 + C_1 \cos x + C_2 \sin x$

$\! 0 = 1 + C_1 = C_1 = -1$

$\! 0 = 1 + C_2 = C_2 = -1$

$\! y = 1 - \cos x - \sin x$

$\! y'' - 3y' + 2y = e^x$

najprej izračunamo homogeno

$\! \lambda ^2 - 3 \lambda + 2 = 0$

$\! D = 9 - 8 = 1$

$\! \lambda_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{2} \Rightarrow 1 \;,\; 2$

$\! y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

rezultat tu že nastopa v homogeni rešitvi, lahko uporabimo nastavek $\! C xe^x$

$\! C( (x e^x)'' - 3 (xe^x)' + 2 xe^x )= e^x$

$\! C (( e^x + xe^x)' - 3(e^x + xe^x) + 2 xe^x) = e^x$

$\! C(( e^x + e^x + xe^x) - 3e^x + 3xe^x + 2xe^x) = e^x$

$\! C(-e^x) = e^x$

$\! C = -1$

dobimo rešitev partikularne enačbe

$\! - \lambda \cdot e^x$

in splošno rešitev:

$\! y = y_p + y_h$

$\! y = -x \cdot e^x + C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/UL/FRI/VSP-RI/ANA2/Vaje/2006-01-13«

Kategoriji: UL/FRI/VSP-RI/ANA2 | Vaje

Osebna orodja

Tiskanje/izvoz

orodja