UL/FRI/VSP-RI/ANA2/Vaje/2006-01-06-SF

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

< UL | FRI | VSP-RI | ANA2 | Vaje

Skoči na: navigacija, iskanje

Vaje z dne Napaka: neveljaven čas
UL/FRI/VSP-RI/ANA2

Vodil: Sanja Fidler

1. naloga

Naloga je 5.a) z 2. domače naloge

Poišči splošno rešitev naslednjo diferencialno enačbo, ter določi tisto, ki zadošča dodatnemu pogoju:

$y'-\frac{3y}{x}=x^3\cdot e^x, y(1)=e+1$

Rešitev

Homogen del: $y'-\frac{3y}{x}=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3y}{x}$

$\frac{dy}{y}=\frac{3dx}{x}$

Integriramo:

ln y = 3 ln x + ln C<

$ln y = ln(C x 3)$

$y = C (x) x 3$

$C'(x) x^3+3C(x) x^2-\frac{3C(x) x^3}{x}=x^3 e^x$

$\!C'(x)=e^x$

$C(x)=\int e^x dx=e^x+D$

$y=(e^x+D) x^3 \Rightarrow y=(e^x+1)x^3$

$e+1=(e+D)\cdot1$

D=1

2. naloga

Naloga je 5.c) z 2. domače naloge

Poišči splošno rešitev naslednjo diferencialno enačbo, ter določi tisto, ki zadošča dodatnemu pogoju:

xy' + y = log x + 1, y(1)=4

Rešitev

$y'+\frac yx=\frac{\log x}{x}+\frac1x$

$y'+\frac yx=0$

$\frac{dy}{dx}=-\frac yx$

$\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}$

$ln y = - ln x + ln C$

$\ln y=\ln \frac Cx$

$y=\frac{C(x)}{x}=C(x)\frac1x$

$C'(x)\frac1x+C(x)(-1)x^{-2}+C(x)\frac{1}{x^2}=\frac{\ln x}{x}+\frac1x$

Množimo z x:

C'(x) = ln x + 1

$C(x)=\int(\ln x+1)dx=\int\ln xdx+\int1dx=\int\ln xdx+x=$

Uporabimo per partes

u = ln x, du = dx
dv = dx, v = x

$=x\ln x-\int dx+x=x\ln x-x+x+D=x\ln x+D$

$y=\frac{x\ln x+D}{x}$

D = 4

$y=\frac{x\ln x+4}{x}$

3. naloga

xy y'=1-x², y(1)=2

Rešitev

$xy\frac{dy}{dx}=1-x^2$

$ydy=\frac{(1-x^2)dx}{x}$

Integriramo:

$\frac{y^2}{2}=\int(\frac1x-x)dx=\ln x-\frac{x^2}{2}+C$

$\frac{y^2}{2}=\ln x-\frac{x^2}{2}+C$

$2=-\frac12+C$

$C=\frac52$

$\frac{y^2}{2}=\ln x-\frac{x^2}{2}+\frac52$

4. naloga

Naloga je z 2. kolokvija dne 10. 1. 2005

Funkcijo podano s predpisom

$f(x)=\left\{\begin{matrix} -2 &;& -\pi\le x\le0 \\ x+1 &;& 0<x\le\pi \end{matrix}\right.$

Rešitev

Splošne formule:

$f(x)=\frac12a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$

$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx$

$b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx$

$a_0=\frac1\pi\left(\int_{-\pi}^0-2dx+\int_0^\pi(x+1)dx\right)=$ $\frac1\pi\left(-2x|_{-\pi}^0+\left(\frac{x^2}{2}+x\right)|_0^\pi\right)=$

$=\frac1\pi\left(-2\pi+\frac{\pi^2}{2}+\pi\right)=\frac\pi2-1$

$a_n=\frac1\pi\left(-2\int_{-\pi}^0\cos nx dx+\int_0^\pi(x+1)\cos nx dx\right)$ $=\frac1\pi\left(-2\frac{\sin nx}{n}|_{-\pi}^0+\int_0^\pi x\cos nx dx+\frac{\sin nx}{n}|_0^\pi\right)=$

$\frac1\pi\int_0^\pi x\cos nx dx=\frac1\pi\left(x\frac{\sin nx}{n}|_0^\pi-\frac1n\int_0^\pi\sin nx dx\right)=$

Uporabimo per partes

u = x, du = dx
dv = cos nx, v =

$=-\frac{1}{\pi n}\int_0^\pi\sin nx dx=\frac{1}{\pi n}\frac{\cos nx}{n}|_0^\pi$ $=\frac{1}{\pi n^2}\left((-1)^n-1\right)$

$b_n=\frac1\pi\left(-2\int_{-\pi}^0\sin nx dx+\int_0^\pi(x+1)\sin nx dx\right)$ $=\frac1\pi\left(2\frac{\cos nx}{n}|_{-\pi}^0+\int_0^\pi x\sin nx dx-\frac{\cos nx}{n}|_0^\pi\right)=$

Uporabimo per partes

u = x, du = dx
dv = sin nx dx, v =

$=\frac1\pi\left(\frac2n(1-(-1)^n)+\frac1n(-(-1)^n+1))-x\frac{\cos nx}{n}+\frac1n\int_0^\pi\cos nx dx\right)=$

$=\frac1\pi\left(\frac3n(1-(-1)^n)-\frac{\pi(-1)^n}{n}+\frac1n\frac{\sin nx}{n}|_0^pi\right)=$

$=\frac1\pi\left(\frac3n(1-(-1)^n)-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right)$

Potem samo še vstavimo a₀, a_n, b_n v enačbo.

5. naloga

$f(x,y)=x e^{x^2+y^2}$

Rešitev

$f_x=e^{x^2+y^2}+x e^{x^2y^2} 2x = e^{x^2+y^2}(1+2x^2)$

// ni ničel, naloga ni rešljiva

6. naloga

Naloga je 1.) z 2. domače naloge

S pomočjo totalnega diferenciala izračunaj $\arctan(\sqrt{4.05}-\sqrt{0.98})$

Rešitev

$f(x,y)=\arctan(\sqrt x-\sqrt y)$

x = 4, dx = 0,05

y = 1, dy = -0,02 (pozor na minus!)

$f(x+dx,y+dy)\approx f(x,y)+df=f(x,y)+f_xdx+f_ydy=$

$f_x=\frac{1}{(\sqrt x-\sqrt y)^2+1}\frac12\frac{1}{\sqrt x}$

$f_y=\frac{1}{(\sqrt x-\sqrt y)^2+1}\frac12\frac{1}{\sqrt y}$

$=f(4.05,0.98)\approx\frac\pi4+\frac{1}{2^3}\frac{1}{20}+\frac14\frac{1}{50}\approx\frac{3.1415926}{4}+\frac{1}{160}+\frac{1}{200}$

7. naloga

Naloga naj bi bila s pisnega izpita 2004

Na $x 2 + x y + y 2 = 16$ poišči točki, ki sta najbolj in najmanj oddaljeno od koordinatnega izhodišča

Rešitev

$d (x, y) = x 2 + y 2$

(originalno je razdalja pod korenom ampak tu ne rabimo)

Iščemo ekstrem razdalje te funkcije pri pogoju, da sta x in y iz prvotne enačbe krivulje

$L (x, y,λ) = x 2 + y 2 + λ(x 2 + x y + y 2 - 16)$

$L x = 2 x + 2 x λ + y λ = 0$ pomnožimo z y

$L y = 2 y + 2 y λ + x λ = 0$ pomnožimo z x

$L λ = x 2 + x y + y 2 - 16$

$2 x y + 2 x y λ + y 2 λ = 0$ (pomnožena z y)

$2 x y + 2 x y λ + x 2 λ$ (pomnožena z x)

Zadnji dve enačbi odštejemo:

$x^2\lambda=y^2\lambda \Rightarrow x^2=y^2$

1. y = x

3 x 2 - 16 = 0

$x^2=\frac{16}{3}$

$x=\pm\frac{4}{\sqrt 3}$

$T_1\left(\frac{4}{\sqrt 3},\frac{4}{\sqrt 3}\right), T_2\left(-\frac{4}{\sqrt 3},-\frac{4}{\sqrt 3}\right)$

$d(T_1)=\frac{32}{3}$

$d(T_2)=\frac{32}{3}$

ta dva sta minimuma

2. y = -x

$x^2-x^2+x^2-16=0 \Rightarrow x^2=16$

$x=\pm4$

T 3 (4, - 4)

T 4 ( - 4,4)

d (T 3) = 32

d (T 4) = 32

ta dva sta maksimuma

8. naloga

Naloga je 3. s 3. pisnega izpita dne 12. 9. 2002

Pokaži, da funkcija $f(x,y)=\frac8x+\frac xy+y$ na območju x>0, y>0 nima globalnega maksimuima. Na istem območju določi minimum.

Rešitev

1. poiščemo stacionarne točke znotraj območja D

Na robu se nič pametnega ne dogaja, funkcija tam niti ni definirana

$f_x=-\frac{8}{x^2}+\frac1y=0\Rightarrow\frac1y=\frac{8}{x^2}\Rightarrow y=\frac{x^2}{8}$

$f_y=-\frac{x}{y^2}+1=0\Rightarrow\frac{x}{y^2}=1\Rightarrow x=y^2$

$y=\frac{y^4}{8}$ pomnožimo z 8

$y 4 - 8 y = 0$

$y (y 3 - 8) = 0$

$y 1 = 0$ , je na robu zato ni veljavna
$y 2 = 2$ , x = 4

T(4,2) je naš globalni minimum

9. naloga

Naloga je 4. s 3. pisnega izpita dne 12. 9. 2002

$x y' - y' = x y + y$ , ki gre skozi točko (2,2)

Rešitev

$y'(x - 1) = y (x + 1)$

$\frac{dy}{dx}(x-1)=y(x+1)$

$\ln y=\int\frac{x+1}{x-1}dx=\int(1+\frac{2}{x-1}dx)=x+2\ln(x-1)+C$

$\ln2=2+C\Rightarrow C=\ln2-2$

$ln y = x + 2ln(x - 1) + ln2 - 2$

$y = e x + 2ln(x - 1) + ln2 - 2$

10. naloga

Naj bi bila z izpita leta 2002

Poišči globalne ekstreme funkcije $f (x, y) = x 2 + 2 y 2 - y$ pri pogoju $x^2+y^2\le1$

Rešitev

1. stacionarne točke

f x = 2 x = 0, x = 0

$f_y=4y-1=0, y=\frac14$

$T(0,\frac14)$

$f(0,\frac14)=\frac18-\frac14=-\frac18$ to je naš globalni minimum

2. ekstremi na robu

x 2 + y 2 = 1

je naš rob (krožnica)

L (x, y,λ) = x 2 + 2 y 2 - y + λ(x 2 + y 2 - 1)

$L_x=2x+2x\lambda=0\Rightarrow 2x(1+\lambda)=0\Rightarrow x=0, \lambda=-1$

$L_y=4y-1+2y\lambda=0\Rightarrow2y(2+\lambda)=1\Rightarrow y=\frac{1}{2(2+\lambda)}$

λ = - 1

$y=\frac12, x^2+\frac14-1=0$

$x^2=\frac34, x=\pm\frac{\sqrt 3}{2}$

$T_2\left(\frac{\sqrt 3}{2}, \frac12\right): f(T_2)=1+\frac14-\frac12=\frac34$

$T_3\left(-\frac{\sqrt 3}{2}, \frac12\right): f(T_3)=1+\frac14-\frac12=\frac34$

x = 0

$y=\pm1$

$\!T_4(0,1), f(T_4)=1$

$\!T_5(0,-1), f(T_5)=3$ to je naš globalni naš maksimum

Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/UL/FRI/VSP-RI/ANA2/Vaje/2006-01-06-SF«

Kategorije: UL/FRI/VSP-RI/ANA2 | Vaje | Matematika

UL/FRI/VSP-RI/ANA2/Vaje/2006-01-06-SF

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

1. naloga

Rešitev

2. naloga

Rešitev

3. naloga

Rešitev

4. naloga

Rešitev

5. naloga

Rešitev

6. naloga

Rešitev

7. naloga

Rešitev

8. naloga

Rešitev

9. naloga

Rešitev

10. naloga

Rešitev

Osebna orodja

Imenski prostori

Različice

Pogled

Dejanja

Iskanje

navigacija

Tiskanje/izvoz

orodja