UL/FRI/VSP-RI/ANA2/Vaje/2006-01-06

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

< UL | FRI | VSP-RI | ANA2 | Vaje

Skoči na: navigacija, iskanje

Vaje z dne 06.01.2006
UL/FRI/VSP-RI/ANA2

Vodil: Martin Vuk

Sistem enačb

Poišči splošno rešitev dif. enačbe

$x y' - y - 2 x log x - x = 0$

in rešitev

ki zadošča pogoju y(1)=1

$x y' - y = 2 x log x + x$

$x y' - y = 0$

$y' = x' c + x c'$

$2log x + x$

$x (c + c') - x c = 2 x log x + x$

$x c + x 2 c' - c = 2 x log x + x$

$y = x C = x (log 2 x + log x + D)$

$y = x log 2 x + x log x + D x$

$y = x log 2 x + x log x + x$

Recept za reševanje Eksaktne dif. enačbe

postavimo enačbo v obliko podobno totalnemu dif.
postavimo

$u x =$ "tisto pred dx"
$u y =$ "tisto pred dy"

preverimo če je $u x y = u y x$
izračunamo u

$u y = ? + C'(y)$ primerjamo s tistim pred dy in izračunamo C(y)

rešitev dif. enačbe zadošča enačbi u(x,y) = D

uporabimo totalni diferencial

$u (x, y)$ $u x d x + u y d y$

$u x = 2 x y$

$u y = (x 2 - y 2)$

$u x y = u y x$

če sta enaka imamo totalni diferencial

$u x y = 2 x$

$u y x = 2 x$

$d u = 0$ $u (x, y) = C$

$2 x y = u x$

$u y = x 2 + C'(y)$

$(x 2 - y 2) = x 2 + c'(y)$

$- y 2 = c'(y)$

Imamo družino funkcij

nariši nekaj članov te družine

(to so premice skozi izhodišče)

poišči dif. enačbo 1. reda, ki tej družini zadošča

(iz rešitve iščemo dif. enačbo)

$y'(x) = C$

$y = y' x$

$2 x 2 y' + 3 y 2 y' + 3 x 2 + 4 x y = 0$

$y'(2 x 2 + 3 y 2) = - 3 x 2 - 4 x y$

nima ločljivih spremenljivk

ni linearna zaradi in

$(2 x 2 + 3 y 2) d y + (3 x 2 + 4 x y) d x = 0$

$u x = 3 x 2 + 4 x y$

$u y = 2 x 2 + 3 y 2$

$u x y = 4 x$

$u y x = 4 x$

odvajamo po y

$u y = 2 x 2 + C'(y)$

$2 x 2 + C'(y) = 2 x 2 + 3 y 2$

$C'(y) = 3 y 2$

$u (x, y) = x 3 + 2 y x 2 + y 3 = D$

Poišči enačbo katere rešitev je družina

$log y = C x$

$log y = C x$

Poišči ortogonalne trajektorije na družino krivulj

družina krivulj: parabole

iščemo krivulje, ki te parabole sekajo pravokotno

ker iščemo pod katerim kotom se sekata potrebujemo odvod

$y' = 2 a x$

družina

ortogonalna družina


dobimo elipse

za dane družine poiščemo diferencialno enačbo
za dobljeno dif. enačbo poiščemo ortogonalno družino tako da jo obrnemo in damo pred njo minus

Graf funkcije je v obliki hriba.

Iščemo pot kjer je strmina največja.

$T (1,1)$

(poišči ortogonalno trajektorijo $C = 2 y 2 + x 2$ ki gre skozi točko 1,1)

$C = 2 y 2 + x 2$

$C 1 = 2 y 2 + x 2$

$C 2 = 2 y 2 + x 2$

$C 3 = 2 y 2 + x 2$

$- 1 = 2 y 2 + x 2$

$1 = 2 y 2 + x 2$

$2 = 2 y 2 + x 2$

poiskati moramo ortogonalno trajektorijo skozi polje krivulj ki gre skozi točko 1,1

$C = 2 y 2 + x 2$

$0 = H y y' + 2 x$ dif. enačba ortogonalne družine

$4 y y' = - 2 x$

= 2y \; dx

$log y = log x 2 + 2 D$

y = x^2 \cdot e^{2D}

y = E \cdot x^2

dobimo rezultat

 $y = x 2$

Razvij funkcijo v fourierjevo vrsto.

recept za računanje:

izračunaj koeficiente a 0..neskončno in b

funkcijo se računa v 2 kosih

vsi a-ji razen prvega so nič

Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/UL/FRI/VSP-RI/ANA2/Vaje/2006-01-06«

Kategoriji: UL/FRI/VSP-RI/ANA2 | Vaje

Osebna orodja

Tiskanje/izvoz

orodja