UL/FRI/UNI-RI/VIS/Vaje/2006-12-07

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

< UL | FRI | UNI-RI | VIS | Vaje
Skoči na: navigacija, iskanje

Vaje z dne 07.12.2006
UL/FRI/UNI-RI/VIS

Vodil: Oliver Dragičevič

Naloga 1

Imamo porazdelitveno funkcijo slučajne spremenljivke X: 

p_X(x) = \frac{2}{\Pi (1 + x^2)^2}

Iščemo: 

E(1 + X^2) = ? \;\!
D(X) = ? \;\!

Vemo da velja: 

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xp(x)dx

Rešitev:

E(1 + X^2) \;\! = \int_{-\infty}^{\infty} (1 + X^2) \frac{2}{\Pi (1 + x^2)^2} dx =
= \frac{2}{\Pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx =
= \frac{2}{\Pi} (\arctan x |_{-\infty}^{\infty}) =
= \frac{2}{\Pi} (\frac{\Pi}{2} + \frac{\Pi}{2}) =
= \frac{2}{\Pi} \frac{2 \Pi}{2} =
= \frac{2}{\Pi} \Pi =
= 2 \;\!


E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} X \frac{2}{\Pi (1 + X^2)^2} dx = \frac{2}{\Pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{X}{(1 + X^2)^2} dx = 0

Rezultat je 0, ker je to liha funkcija na simetričnem intervalu.


E(X^2) = E(1 + X^2) - 1 = 2 - 1 = 1 \;\!

D(X) = 1 - 0^2 = 1 \;\!

Naloga 2

Imamo neodvisni spremenljivki X in Y, ki sta porazdeljeni: 

X \sim \Eta^2 (3) \;
Y \sim \Eta^2 (5) \;

Zanima nas: 

D(3X - Y) = ? \;
E((X + 2Y)^2) = ? \;

Veljajo naslednje formule: 

Z \sim \Eta^2 (n) \;
E(Z) = n \;
D(Z) = 2n \;
D(aX + b) = a^2D(X) \;
D(X + Y) = D(X) + D(Y) \;, če sta X in Y neodvisni
E(X + Y) = E(X) + E(Y) \; velja vedno
E(XY) = E(X) E(Y) \;, če sta X in Y neodvisni

Potek:

D(3X - Y) = E((3X - Y)^2) - E^2(3X - Y) \;\!
D(3X - Y) = 3^2D(X) + D(Y) = 9 \cdot 6 + 10 = 64
E((X + 2Y)^2) \;\! = D(X + 2Y) + E^2(X + 2Y) = \;\!
= D(X) + 4D(Y) + (E(X) + 2E(Y))^2 = \;\!
= 6 + 4 \cdot 10 + (3 + 2 \cdot 5)^2 = \;\!
= 6 + 40 + 169 = \;\!
= 215 \;\!

Naloga 3

Imamo diskretni slučajni spremenljivki X in Y.

Y = 0 Y = 1 Y = 3
X = 0 0,05 0,1 0,2
X = 1 0,15 0 0,15
X = 4 0,2 0,1 0,05

Iščemo 

E(XY2) = ?
E(Y | X = 4) = ?
E(Y2 | X = 4) = ?
E(XY2 | X = 4) = ?

Velja 

E(Z) = \sum_k z_kP(Z = z_k) \;\!
E(X|Y = y_j) = \sum_i x_i \frac{P(X = x_i, Y = y_j)}{P(Y = y_j)}

Potek

Osnovno tabelo malo razširimo za lažje računanje:

Y = 0 Y = 1 Y = 3
X = 0 0,05 0,1 0,2 0,35
X = 1 0,15 0 0,15 0,3
X = 4 0,2 0,1 0,05 0,35
0,4 0,2 0,4

E(XY^2) = 1\cdot 3^2\cdot 0,15 + 4\cdot 0,1 + 4\cdot 3^2\cdot 0,05 = 3,55


Y|X = 4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ \frac{0,2}{0,35} & \frac{0,1}{0,35} & \frac{0,05}{0,35} \end{pmatrix}


E(Y|X = 4) = 0\cdot \frac{0,2}{0,35} + 1\cdot \frac{0,1}{0,35} + 3\cdot \frac{0,05}{0,35} = \frac{5}{7}


XY^2|X = 4 = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 36 \\ \frac{0,2}{0,35} & \frac{0,1}{0,35} & \frac{0,05}{0,35} \end{pmatrix}


E(XY^2|X = 4) = \frac{4\cdot 0,1}{0,35} + \frac{36\cdot 0,05}{0,35} = \frac{2,2}{0,35} = \frac{44}{7}

Naloga 4 

X \sim G(p) \;\!
P(X = k) = pq^{k-1} \;\!

Preveri, če drži: 

E(X) = \frac{1}{p} \;\!
D(X) = \frac{q}{p^2} \;\!

Potek

E(X) \;\! = \sum_{k = 1}^n kpq^{k-1} = \;\!
= p \sum_{k = 1}^n kq^{k-1} = \;\!
= p \sum_{k = 1}^n (q^{k})' = \;\!
= p \left (\sum_{k = 1}^n q^{k}\right )' = \;\!
= p \left (\frac{1}{1 - q}\right )' = \;\!
= p \left (\frac{-(1 - q)'}{(1 - q)^2} \right ) = \;\!
= p \left (\frac{1}{(1 - q)^2}\right ) = \;\!
= \frac{p}{p^2} = \;\!
= \frac{1}{p} \;\!


D(X) \;\! = E(X^2) - E^2(X) = \;\!
= E(X^2) - \frac{1}{p^2} = \;\!
E(X^2) \;\! = \sum_k k^2 p q^{k-1} = \;\!
= p\sum_k k^2 q^{k-1} = \;\!
= p\sum_k (k(k-1) + k) q^{k-1} = \;\!
= p\sum_k (k(k-1)q^{k-1} + kq^{k-1}) = \;\!
= p\sum_k k(k-1)q^{k-1} + p\sum_k kq^{k-1} = \;\!
= pq\sum_k k(k-1)q^{k-2} + \frac{1}{p} = \;\!
= pq\sum_k (q^k)'' + \frac{1}{p} = \;\!
= pq \left ( \frac{1}{1 - q} \right )'' + \frac{1}{p} = \;\!
= pq \left ( \frac{1}{p} \right )'' + \frac{1}{p} = \;\!
= \frac{2pq}{p^3} + \frac{1}{p} = \;\!
= \frac{2pq + p^2}{p^3} = \;\!
= \frac{2 - p}{p^2} = \;\!


Small-question.png
Je to prav ali ne?

Avtor ni prepričan o pravilnosti tega dela članka in zato prosi, da bralec v svojih zapiskih preveri pravilnost
Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/UL/FRI/UNI-RI/VIS/Vaje/2006-12-07«
Osebna orodja
Imenski prostori
Različice
Dejanja
navigacija

Tiskanje/izvoz
orodja