UL/FRI/UNI-RI/TS/DN/2005-06/2 kolokvij

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Naloge so v priloženem .pdf-ju. Išče se nekdo, ki bi to prevedel v Wiki format in išče se skupina kandidatov, ki je pripravljena domače naloge rešiti do samega kolokvija.

Naloge PDF

Članek se aktivno dograjuje in iz minute v minuto spreminja. Prosim sledite tudi pogovoru tukaj, toliko da smo na tekočem z vsemi nejasnimi spremembami; prosim, če tudi vse spremembe argumentirate na strani, še bolje pa v pogovorno stran. Prav tako ne škodi, če navedete tudi postopek (po korakih ali pa z delinimi izračuni zraven), verjeli ali ne, zelo zelo pomaga. Hvala vsem, ki pomagate!

tabela lastnosti fourierovih transformov

tabela fourierovih transformov

tabela laplaceovih transformov

tabela lastnosti laplaceovih transformov

1. naloga

Vzemimo signal $x(t) = 2e^{-|t|} -\infty < t < \infty$

Izračunajte Fourierjev transform signala in narišite amplitudni in fazni spekter
S pomočjo Parsevalovega izreka izračunajte energijo signala x(t)!
Signal x(t) pošljemo skozi sistem s prenosno funkcijo
$u(w) = \begin{cases} 1 & -1 \le w \le 1 \\ 0 & sicer \end{cases}$
Podajte izraz za Fourierjev transform izhoda sistema t.j. Y (ω)!
Izrišite amplitudni in fazni spekter!
Z uporabo Parsevalovega izreka izračunajte energijo izhodnega signala y(t) (naj bo v pomoč $\int \frac{1}{1+x^2} dx = arctg(x)$ )

1. F(w) = 4/(w^2 + 1)
2. $E_x = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {\left| {\frac{4}{{\omega ^2 + 1}}} \right|^2 d\omega = ... = 4}$

2. naloga

Izračunajte odziv sistema $\dot y + 2y = x(t)$ na vhodni signal x(t) = δ(t-1)+δ(t+2) (uporabi Fourierjev transform)!

Rešitev

y=½(σ(t-1)+σ(t+2))

dejte prevert ce je

3. naloga

Naj bo Fourierjev transform funkcije x(t) enak X(ω) = 2π δ(ω-ω0). Poiscite funkcijo x(t) (z inverzno Fourierjevo transformacijo)! Na podlagi tega rezultata dolocite Fourierjev transform funkcije x(t)=cos(t)!

Rešitev

$X(\omega)=2\pi\delta\big (\omega-\omega_0 \big)$ . Če transformiramo nazaj v časovni prostor (inverzni Fourier) dobimo $x(t)=e^{i\omega_0 t}$ . To vse skupaj se da oddčitati iz tabelic, ali izračunati z enačbo $x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{it\omega}d\omega$ .

Drugi del naloge [Fourijerjev transform funkcije cos(t)] rešujemo tako:

1. najprej cos(t) zapišemo z eksponenti: $cos(t) = \frac{1}{2}[e^{-it} + e^{it}] = \frac{1}{2}*e^{-it} + \frac{1}{2}*e^{it}$

2. vidimo da je $ω 0 = - 1$ in $ω 0 = 1$

3. upoštevamo tisto kar smo dobili .. se pravi $e^{i\omega_0 t} \rightarrow 2*\pi*\delta\big(\omega-\omega_0)$

4. dobimo $X(\omega) = \pi*[\delta\big(\omega-1) + \delta\big(\omega+1)]$

4. naloga

rešitev

narišimo si sliko vhoda in izhoda; ker si bomo lahko s sliko ze marsikaj bolje predstavljali (slika še manjka).
v nadaljevanju bom izhood oznaceval kot y(t); samo zato, da bo bolj pregledno.
vhod: $x(t)=1 \rightarrow X(s)=\frac{1}{s}$
izhod: $y(t)=-0.5 \rightarrow Y(s)=\frac{-1}{2s}$
sedaj izračunamo prenosno funkcijo: $H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{-1}{2s}*\frac{s}{1}=-\frac{1}{2}$

sedaj se lahko lotimo drugega dela naloge, ko prenosno dobljeno prenosno funkcijo uporabimo na drugem vhodnem signalu.

vhod: $x(t) = \sin t \rightarrow X(s)=\frac{1}{s^2+1}$
izhod (z uporabo prenosne funkcije): $Y(s) = H(s)*X(s) = \frac{-1}{2s^2+2} = \frac{-1}{2\big(s^2+1 \big)}$
transformiramo izhod v časovni prostor nazaj (preko La-placea): $y(t) = -\frac{1}{2}\sin t$

Ugotovitve: Če pregledamo sliko grafov res opazimo, da vhodni signal se zmanjsa za polovico in spremeni se mu predznak; isto dobimo seveda tudi v (b) delu naloge.

Rešitev

5. naloga

Rešitev

Ce lahko kdo potrdi karkoli od tega... A lahko kdo prosim razlozi mal kok se pride do teh roc-ov

a) $F(s) = \frac{1}{s^2}$

ROC: s>0

b) $F(s) = \frac{\omega}{(s^2 + \omega ^2)}$

ROC: s>0

c) $F(s) = \frac{6s}{(s^2 + 9)^2}$

ROC: s>0

d) $F(s) = \frac{2}{(s^2 + 4)^3}$

ROC: s>-4

e) $F(s) = \frac{4}{(s^2 + 6s + 12)}$ Tukaj je po tabelah 13!

ROC: s>-3

f) $F(s) = \frac{(s^2 - 4)}{(s^2 + 4)^2}$

ROC: s>0

h) $F(s) = \frac {e^{-s}}{s}$

ROC: s>0

6. naloga

Rešitev

a lahko tud to kar ste na vajah delas das gor, ker nekateri ne moremo hodit na vaje, ker smo visji letniki,

poleg tega bi blo fajn, ce bi se recimo en primer resil (lahko ta ki je bil na vajah), ostalo pa samo rezultati

Napotek reševanja: Potrebno je H(s) predelati v tako obliko (najlažje na parcialne ulomke), da bomo s pomočjo inverznih La-placovih transformacij lahko dobili odziv v časovne prosotu. Torej h(t).

a) $H(s)=\frac{1}{(s+3)(s+7)}=\frac{A}{s+3}+\frac{B}{s+7}= ...$ . Z metodo residumov lahko zračunamo A in B in tako dobimo $A=\frac{1}{4}$ in $B=-\frac{1}{4}$ . Torej $H(s)=\frac{\frac{1}{4}}{s+3}-\frac{\frac{1}{4}}{s+7}$ . Inverzno transformirao in dobimo: $h(s)=\frac{1}{4}\big (e^{-3t}-e^{-7t} \big )$ .

a) h(t) = (1/4*(exp(-3t) - exp(-7t)))

b) h(t) = e^-3t * sin 2t

c) h(t) = e^-t *cos(2t) + 3e^-t * sin 2t

Mislim, da je to narobe: h(t) = (1+4i)*exp(t)*cos(2t) če smo naredili inverzno la-placeovo transformacijo, bi se morali znebiti vseh kompleksnih vrednosti?? -- tako da malo dvomim, v pravilnost tega rezultata? sin(t)=1/2i*(exp(ti)-exp(-ti)), torej vsak sinus vsebuje i, tako da ne vem, če je res, da se moramo znebiti vseh kompleksnih vrednosti?? Razpravo lahko nadaljujemo tukaj

d) smo delal na vajah -- če bi kdo to napisal, še za tiste, ki nismo na vaje hodili, ga tudi ne bo konec:) tudi postopek mislim, ne samo rezultat.

Podatek: $H(s) = \frac{3s}{(s+1)(s^2+4)}$

Standarden ukrep pri nalogah tovrstne sorte je preoblikovati ulomek na parcialne ulomke.

$H(s) = \frac{3s}{(s+1)(s+2)(s-2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{s-2} = \frac{A(s-2)(s+2)+B(s-1)(s+2)+C(s-1)(s+2)}{(s-1)(s-2)(s+2)}$

Med postopkom dobimo naslednjo klobaso: $s 2 (A + B + C) + s (B - 3 C - 3) - 4 A - 2 B + 2 C = 0$

Njena rešitev je: A=-1, B=3/2, C=-1/2.

Tako lahko napišemo: $H(s) = -\frac{1}{s+1} + \frac{\frac{3}{2}}{s+2} - \frac{\frac{1}{2}}{s-2}$

Sedaj le še pogledamo v tabelo transformacij ...

Rešitev, ki jo požegna tudi Mathematica je tako:

$h(t) = L^{-1}(H(s)) = -e^{t} + \frac{3}{2}e^{2t} - \frac{1}{2}e^{-2t}$

f) h(t) = -3exp(t) + 3exp(2t)

7. naloga

Rešitev

a) prenosna funkcija $H(s) = \frac{3s + 2}{( s^2 +2s + 5)}$

ničle $s 1,2 = - 1$ ± 2i, sistem je stabilen

impulzni odziv ?????? ČE GA JE KDO IZRAČUNAL NAJ NAPIŠE KAKO GA JE DOBIL

$H(s) = \frac{3s + 2}{( s^2 +2s + 5)} = \frac{3s}{s^2 +2s + 5} + \frac{2}{s^2 +2s + 5} =$

$= 3*\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2} - 3/2*\frac{2}{(s+1)^2+2^2} + \frac{2}{(s+1)^2+2^2}$

pogled v laplacovo tabelo ==>

$h (t) = u (t) e - t (3 c o s 2 t - 1 / 2 s i n 2 t)$

b) prenosna funkcija $H(s) = \frac{1}{s^2+1}$

ničle $s 1,2$ = ± i, sistem je delno stabilen.

impulzni odziv: x(t) = sin(t)

c) $H(s) = \frac{s}{(s+3)(s-1)}$

ničle $s 1 = - 3 s 2 = 1$ , sistem ni stabilen.

impulzni odziv: x(t) = 3/4*e^(-3t) + 1/4*e^t

8. naloga

a) y(t) = - exp(-t) + 2*exp(-2t) - exp(-3t)

jaz dobim tole:

x(0) = 1/2

$Y(s) = \frac{-7/2}{s+2}+\frac{9/2}{s+3}+\frac{-1}{s+1}$

$y (t) = - 7 / 2 * e - 2 t + 9 / 2 * e - 3 t - e - t$

b) y(t) = 5*(exp(-2t) - exp(-3t))

Rešitev

9. naloga

Rešitev

10. naloga

rešitev 10

Tukaj enostavno rešujemo limite po naslednji definiciji: $\lim_{t \to \infty}x(t) == \lim_{s \to 0}sX(s)$ .Torej z drugimi besedami, glede na to, do vsi zapise ze v X(s), vse skupaj samo pomnizimo z 's' in limitiramo.

a) Sistem ni stabilen!

b) $\lim_{s \to 0}{\frac{s(s-1)}{s(s+1)}}=\frac{-1}{1}=-1$

c) Sistem ni stabilen!

d) $\lim_{s \to 0}{\frac{se^{-2s}}{s^2+s+1}} = 0$

11. naloga

Rešitev

a) mislim da gre pri tem sistemu za negativno povratno vezavo (ce je pozitivna je v imenovalcu -)

    => je stabilen (pol pri s=-1)
  
  Odziv na x(t) = u(t)
  X(s) = 1/s
  Y(s) = X(s)H(s) =

Dej prosim razloži, kako si dobil enačbo za H(s)?? Oz. kako veš, da gre za negativno vezavo in ne za pozitivno? Pomoje je negatina, ker je - pred O pri povratni povezavi. No ce bi bla pa pozitivna povratna vezava pa sistem ne bi bil stabilen in se ne bi dal zracunat $\lim_{t \to \infty}x(t)$

c) $H(s) = {\frac{P(s)}{1+P(s)H(s)}} = {\frac{s+3}{(s+2)^2}}$ => je stabilen (dvojni pol pri s=-2)

Odziv na x(t) = u(t)

  X(s) = 1/s
  Y(s) = X(s)H(s) =

12. naloga

Rešitev

$H(s) = {\frac{P(s)}{1+P(s)C(s)}} = {\frac{1}{s-2+k}}$ sistem je stabilen, ce ima prenosna funkcija vse pole na levi strani imaginarne osi in ce ima enojne pole pri 0. s-2+k = 0, s = 2-k<=0 ==> k>=2

13. naloga

Rešitev

odziv na enotin pulz h(t) = c'Φ(t)b + dδ(t) ;c,b,d vektorji , Φ(t) matrika

$c = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Φ(t) = $e A t$

$A= \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&-2 \end{pmatrix}$

$H(s) = 1/s -1/s^2 + 1/s^3 - 1/s^4 + ... + (-1)^{(n+1)}/s^n + ... = \frac{1}{s+1}$

2.način

$H (s) = c (s I - A) - 1 b$

inverz 2x2 matrike

$A= \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}$

$A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-c \\ -b&a \end{pmatrix}$

$H(s) = \frac{1}{s+1}$

Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/UL/FRI/UNI-RI/TS/DN/2005-06/2_kolokvij«

Kategorija: UL/FRI/UNI-RI/TS

UL/FRI/UNI-RI/TS/DN/2005-06/2 kolokvij

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

1. naloga

2. naloga

Rešitev

3. naloga

Rešitev

4. naloga

rešitev

Rešitev

5. naloga

Rešitev

6. naloga

Rešitev

7. naloga

Rešitev

8. naloga

Rešitev

9. naloga

Rešitev

10. naloga

rešitev 10

11. naloga

Rešitev

12. naloga

Rešitev

13. naloga

Rešitev

Osebna orodja

Imenski prostori

Različice

Pogled

Dejanja

Iskanje

navigacija

Tiskanje/izvoz

orodja