UL/FRI/UNI-RI/NUMMAT/naloge iz pomladnih rokov
Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja
1.naloga
Rešujemo enačbo
(a) Izračunaj vse njene ničle
(b) Kakšen mora biti začetni interval za bisekcijo ali regulo falsi?
(c) Ali navadna iteracija
konvergira proti rešitvi, če izberemo x0 dovolj blizu rešitve?
(d) Za katere vrednosti c navadna iteracija
konvergira proti rešitvi, če je x0 dovolj blizu rešitve?
Rešitev
a)
Enačbo poenostavimo tako, da dobimo kvadratno kvadratno enačbo oblike
x2 − x − 1 = 0
Ničli, ki ju dobimo, sta torej
Ker pa iz osnovne enačbe, dobimo 
, vidim, da x ne more biti negativno število, kar pomeni, da 
odpade.
b)
Začetni interval [a,b] mora biti tak, da velja: f(a)*f(b)<0, to pomeni da funkcija na tem intervalu spremeni predznak => obstaja vsaj ena ničla.
c)
Konvergenca je zagotovljena če | g'(x) | < 1.
Preverimo obe možnosti in dobimo skupno rešitev xn > − 3 / 4
Približki torej konvergirajo k točni rešitvi v vsakem primeru, ko je začetni približek xn večji od -3/4
d)
Tu verjetno delamo podobno kot pri prejšnji točki. Poiščemo odvod xn+1 - absolutno vrednost odvoda pa mora biti manjša od 1. Za xn pomoje vstavimo nek x, vseeno kašn je sam da je večji od -3/4. Jaz dobim da je c med 0 in 2.
2.naloga
Rešujemo sistem linearnih enačb Ax = b; kjer za matriko A = (aij) velja, da je aij = 0 za i - j > 1.
(a) Zapiši eno tako matriko reda 5.
(b) Algoritem za Gaussovo eliminacijo priredi za reševanje takega sistema.
(c) Preštej potrebne operacije (deljenja in množenja)!
Rešitev
a.)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
b.)
for k=1:n-1
i = k + 1
M(i,k) = A(i,k)/A(k,k);
for j = k+1:n
A(i,j) = A(i,j) - M(i,k)*A(k,j);
end
b(i) = b(i) - M(i,k)*b(k);
end
(eliminacije v vsakem koraku ne delaš za vse vrstice amapak samo za eno nižje)
c.) Σ k=1:n-1 * (2 + Σ j=k+1:n (1)) = n*(n+2)/2 ≈ n^2/2
3.naloga
Računamo vrednost integrala
Vrednost integrala lahko izračunamo z enostavno sredinsko formulo
(a) Zapiši sestavljeno sredinsko formulo za izračun vrednosti I pri dolžini koraka h = (b-a)/4
(b) Kolikšna je napaka enostavne sredinske formule?
(c) Izračunaj vrednost integrala 
s sestavljeno sredinsko formulo pri dolžini koraka h = 0.25.
(d) Za primerjavo izračunaj vrednost istega integrala še s sestavljeno trapezno formulo pri isti dolžini koraka in primerjaj obe napaki.
Rešitev
a)
b)
polinom 0 stopnje: I = h F = h
polinom 1 stopnje: 
polinom 2 stopnje: 
drinker: jst dobim napako 
, ker na začetku gre osnovni integral od 0 do 4h, ne pa od 0 do h
4.naloga
Rešujemo sistem linearnih enačb
x1 / 3 + x2 / 4 = 1
x1 / 4 + x2 / 5 = 1.
(a) Poišči točno rešitev sistema (računaj z ulomki).
(b) Reši sistem tako, da računaš le z dvema decimalnima mestoma.
(c) Ostanek izačunaj natančno (z ulomki). Rešitev popravi z eno iteracijo iterativnega izboljšajnja. Kolikšen je ostanek sedaj?
(d) Dodatek: Izračunaj število občutljivosti sistema (v max normi).
Rešitev
a.)
x1 = -12
x2 = 20
b.)
x1' = -14,2857
x2' = 22,857
c.)
Naš približek x' = {x1',x2'}
Ostanek izračunamo po formuli: r = Ax' - b
r = [-2,04785 -1,600025]
Iterativno izboljšanje: Ae = r in x' = x' - e
e = [2,2857 -5,09525]
x' = [-14,2857 14,857] - [-2,2857 -5,09525] = [-12 19,95225]
d.) ||A − 1||×||A||
5.naloga
Funkcija sinx je tabelirana na intervalu [0, 1.6].
(a) Kolikšna je maksimalna napaka kvadratne interpolacije, če je korak tabele enak h = 0.01?
(b) Kolikšen naj bo korak tabele, da bo napaka kvadratne interpolacije pod 10 − 4?
(c) Napiši algoritem, ki iz tabeliranih vrednosti izračuna kubični interpolacijski polinom.
(d) Kolikšna mora biti stopnja interpolacijskega polinoma, da bo napaka pod 10 − 6, če je korak tabele 0.02?
Rešitev
6.naloga
Rešitev
a)
Enačba ima na intervalu (0,Pi/2) 2 rešitvi.
b) ničla je pri x = 0.6903054955807771
c) ničla je pri x = 0.8504372674150764
7.naloga
Rešitev
8.naloga
Rešitev
a) ničla: 7.111000606429456
relativna sprememba: 7.111000606429456 - 7
b) ničla: -2.0089597901029244
relativna sprememba : -2.0089597901029244 - (-2)
9.naloga
Rešitev
10.naloga
Rešitev
a)
