Predavanja

Uvod

• Vrste in vzroki napak
  • Napačen matematični model
  • Napačni podatki
  • Računanje z omejeno natančnostjo (zaokroževanje)
  • Računalniške napake
  • Človeški faktor
  • Napake metode
• Računalniški zapis števil
  • IEEE754
• Polinomi

Sistemi linearnih enačb

Direktne metode

• Trikotni sistemi
• Gaussova eliminacijska metoda
• LU razcep
• Pivotiranje
• Metoda Choleskega
• Napaka in ostanek

Iterativne metode

• Jacobijeva iteracija
• Gauss-Seidlova iteracija

Povzetek

• Pri direktnih metodah pridemo do rešitve v nekem končnem številu korakov, pri iterativnih pa imamo zaporedje približkov, ki pod določenimi pogoji konvergirajo proti rešitvi
• Iterativne metode se dobro obnesejo pri diagonalno dominantnih razpršenih sistemih

Nelinearne enačbe

Dvočlenske metode

• Metoda bisekcije
• Metoda regula falsi

Enočlenske metode

• Newtonova (tangentna) metoda
• Metoda fiksne točke

Povzetek

• Pri bisekciji in regula falsi delamo z nekim intervalom, ki je vedno manjši in zagotovo konvergira proti rešitvi (če smo na pravem intervalu).
• Pri ostalih metodah pa nimamo nadzora nad intervalom in metoda lahko divergira, kadar konvergira pa konvergira hitreje od zgornjih dveh metod.
• Pri reševanju smo se omejili na zvezne funkcije, pri Newtonovi metodi na zvezno odvedljive

Interpolacija in aproksimacija

• Polinomska interpolacija
• Lagrangeova interpolacijska formula
• Newtonova interpolacijska formula
• Interpolacija ekvidistantnih tabel
• Napaka polinomske interpolacije
• Metoda najmanjših kvadratov
• Ortogonalni polinomi nad sistemom točk
• Aproksimacija periodičnih funkcij

Povzetek

• Interpolacija: določanje vrednosti funkcije v določeni točki glede na poznane vrednosti v omejenem številu točk
• Interpolacijska funkcija: funkcija, ki nadomešča nepoznano funkcijo in se v predpisanih vrednostih ujema z vrednostjo originalne funkcije - se popolnoma prilega inter. točkam (mora biti enostavno določljiva in lahko iračunljiva)
• Za interpolacijske funkcije navadno uporabljamo polinome

• Aproksimacija: prav tako želimo originalno funkcijo, od katere poznamo le nekaj vrednosti, nadomestiti s preprostejšo
  • vrednosti so ponavadi z napakami, zato ne zahtevamo, da se funkcija popolnoma prilega znanim točkam
  • Kako merimo napako aproksimacije?
    1. Celotna napaka je vsota absolutnih vrednosti napak (integral absolutne vrednosti napake) v posameznih točkah
    2. Celotna napaka je enaka največji izmed abolutnih vrednosti napak (maksimumu absolutne vrednosti napake) v posameznih točkah
    3. Celotna napaka je kvadratni koren vsote kvadratov napak (kvadratni koren integrala kvadrata napake) v posameznih točkah

Numerična integracija

• Trapezna formula
• Metoda nedoločenih koeficientov
• Računanje singularnih integralov
• Izbira koraka
• Rombergova metoda
• Numerično odvajanje

Povzetek

• Določeni integral izračunamo analitično s pomočjo nedoločenega integrala po formuli

• Nedoločenega integrala velikokrat ne moremo zapisati kot kombinacijo elementarnih funkcij.
• Pri odvodu je ponavadi enostavno poiskati analitično rešitev, težje pa je izračunati numerično vrednost.

Diferencialne enačbe

• Eulerjeva metoda
• Linearne veččlenske metode
• Metode Runge-Kutta
• Kontrola koraka
• Sistemi diferencialnih enačb
• Enačbe višjih redov
• Stabilnost
• Robni problemi

Povzetek

Splošna rešitev navadne diferencialne enačbe n-tega reda

F(x,y,y',y'',...,y⁽ⁿ⁾) = 0

je n-parametrična družina funkcij. Če želimo iz te družine rešitev izločiti eno od partikularnih rešitev, potrebujemo dodatno informacijo, ki je navadno podana kot vrednost partikularne rešitve in/ali njenih odvodov pri eni ali več vrednostih neodvisne spremenljivke x. Pri enačbi n-tega reda je navadno dovolj n dodatnih pogojev.

• začetni problem: pogoji so dani kot vrednost rešitve in njenih odvodov v eni točki
• robni problem: vrednosti so dane v dveh ali več točkah
• globalna napaka: razlika med numerično in točno rešitvijo (g_n = y_n − y(x_n))
• lokalna napaka v točki x_{n + 1} je razlika med numeričnim približkom y_{n + 1} in tisto rešitvijo dif. enačbe, ki poteka skozi prejšnjo točko numerične rešitve, to je rešitvijo začetnega problema

Definicija: red metode

Red metode za reševanje dif. enačb je celo število p, za katerega je

Konstanta C je poznana kot konstanta napake.

Rešene naloge

• Naloge iz pomladnih rokov (Media:Nm-pomladni_izpiti.pdf)
• Naloge iz jesenskih rokov (Media:Nm-jesenski_izpiti.pdf)
• Naloge iz učbenika
• Naloge iz učbenika - z rešitvami

Zagovor domačih nalog

Zagovor 2. domače naloge

aproks.m

  1. na isto sliko narišite graf aproksimacijske funkcije in podatkov iz tabele.
  2. Spremenite program tako, da bo tabelo podatkov modeliral s funkcijo y(x)=aebx in na sliko iz 1. točke narišite graf dobljene funkcije.

bezier2d.m ali rat_bezier2d.m Napišite program, ki

  1. na isto sliko narišite Bézierovo krivuljo in njen kontrolni poligon,
  2. poišče točko na krivulji, ki je najbližje dani točki T(x,y).
  3. izracunaj dolžino Bezierove krivulje.

inv_inter.m

  1. Na isto sliko narišite graf inverzne funkcije in podatkov iz tabele.
  2. Spremenite program tako, da bo podatke interpoliral s polinomom 4. stopnje in na graf iz 1. točke dodajte graf doblejenga polinoma.

lag_inter.m ali new_inter.m

  1. Na isto sliko narišite graf interpolacijskega polinoma, parabole in podatkov iz tabele.
  2. Spremenite program tako, da pri aproksimaciji uporabi polinom 3. stopnje.

zlepek.m

  1. Napišite program, ki izriše zlepek tako, da je vsak drugi segment obarvan z isto barvo.
  2. Nato program dopolnite tako, da vrne čim boljšo oceno za maksimalno vrednost zlepka.

Zagovor 3. domače naloge

elipsa.m Dopolnite program tako, da bo

  1. narisal del elipse, katerga dolžino program dejansko računa,
  2. narisal graf, ki prikazuje, kako se obseg elipse spreminja, če je ena od polosi konstantna, druga pa se spreminja od b0 do b1.

gausher.m ali gauslag.m Napišite funkcijo, ki

  1. nariše graf Hermitovega oziroma Laguerrovega polinom stopnje n na izbranem intervalu.
  2. Nato program prilagodite tako, da bo računal integral za funkcijo Hn(x) oziroma Ln(x).

integralJ0.m, integralJ1.m ali integralJm.m Napišite program, ki bo

  1. narisal graf funkcije J0aliJ1 na danem intervalu. Pravilnost grafa preveri z vgrajeno funkcijo besselj,
  2. na istem intervalu nariše graf napake pri računanju J0 ali J1  za dano število korakv n.
  3. Spremeni funkcijo tako, da bo integrirala po sestavljenem trapeznem/simpsonovem pravilu

simps2d.m ali sred2d.m

  1. Program spremenite tako, da bo za izračun integrala uporabil sestavljeno trapezno pravilo v dveh dimenzijah.
  2. Narišite graf napake pri integraciji v primeru, ko je število delitev m konstantno,
     število delitev n pa se spreminja med n_0 in n_1, \(n_0