UL/FRI/UNI-RI/ANA1/Vaje/OhlajanjeTelesa

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Vaje z dne ?
UL/FRI/UNI-RI/ANA1
Vodil: ?

Newtonov zakon ohlajanja

Naloga

Dr. Watson ob prihodu na kraj umora izmeri temperaturo trupla $T_1=31^\circ$ . Čez eno uro je temperatura le še $T_2=28^\circ$ . Temperatura v sobi je vseskozi $T_0=25^\circ$ Koliko časa je poteklo od umora? Predpostavi, da velja Newtonov zakon ohlajanja(an).

Rešitev

Po Newtonovem zakonu o ohlajanju je sprememba temperature telesa sorazmerna razliki med zunanjo temperaturo $T 0$ in temperaturo telesa $T$ : $T'=\frac{dT}{dt}=k(T-T_0)$

Enačbo preublikujemo tako, da ločimo odvisno $T = T (t)$ in neodvisno spremenljivko $t$

$\frac{T'(t)}{T(t)-T_0}=k$ oziroma zapisano z diferenciali $\frac{dT}{T-T_0}=k\,dt$

in obe strani integriramo po $t$

$\int\frac{T'(t) dt}{T(t)-T_0}=\int\frac{dT}{T-T_0}=\int k\,dt$

Levi integral smo enostavneje zapišeli tako, da smo $T (t)$ obravnavali kot novo spremenljivko $T = T (t)$ in $d T = T'(t) d t$ :

$\int\frac{T'(t) dt}{T(t)-T_0}=\int\frac{dT}{T-T_0}$

Tako dobimo enačbo

$\log|T-T_0|+C=\int\frac{dT}{T-T_0}=\int k\,dt=k\,t$ i

n rešitev

$T=e^{k\,t-C}+T_0$

Naj bo $t = 0$ čas prihoda dr. Watsona na kraj umora. Potem je

$T(0)=T_1=31^\circ$ in $T(1)=T_2=28^\circ$

Torej je $T (0) = e 0 - C + T 0 = T 1$ in $T (1) = e k - C + T 0 = T 2$ oziroma $e - C = D = T 1 - T 0 = 31 - 25 = 6$ in $e^{k-C}=D\,e^k=T_2-T_0=3$ torej