UL/FRI/UNI-RI/ANA1

Uvod

Realna števila

• Algebraični opis realnih števil
• Geometrični opis realnih števil
• Računski opis realnih števil
• Omejene podmnožice realnih števil
  • Supremum
  • Infimum

Naravna števila

• Naravna števila

Matematična indukcija

• Matematična indukcija
• Dokazovanje z matematično indukcijo
• Primer napačne indukcije

Zaporedja

• Zaporedja z eksplicitno podanim prvim členom
• Rekurzivna zaporedja
• Limite zaporedij

Funkcije

• Osnovne lastnosti
  • Definicijsko območje, Zaloga vrednosti
  • Sodost, lihost
  • Periodičnost
• Grafi
• Elementarne funkcije
  • Algebraične funkcije (polinomi, racionalne funkcije, ...)
  • Transcendentne funkcije (exponentne, logaritemske, kotne funkcije, ...)
• Zveznost in limita funkcije

Zveznost funkcije v točki c iz defincijskega območja je zvezna natanko takrat, ko za vsak ε>0, obstaja δ>0, da velja:|x-c|<ε → |f(x)-f(c)|< δ, za vsak x iz domene. Funkcija f je zvezna na domeni, če je zvezna v vsaki točki domene.

limita funkcije naj bo f funkcije za katero velja f:A → realna števila, naj bo c limitna točka mn. A. Tedaj je število L limita funckije f v točki c, lim_x→c f(x)=L, če velja za da vsak ε>0, obstaja δ>0, da velja:

      (0<|x-c|<δ → |f(x)-L|<ε) za vsak x iz A

• Lastnosti zveznih funkcij

Odvod

• Definicija in geometrijski pomen odvoda
• Pravila za računanje
• Odvodi elementarnih funkcij
• Diferencial
• Lastnosti odvedljivih funkcij
• Funkcije odvedljive na zaprtem intervalu
  • Rollejev in Lagrangeov izrek
• Računanje limit
  • L'Hospitalovo pravilo
• Ekstremi
  • Risanje grafov
  • Optimizacija

Integral

Nedoločeni integral

Dana je funkcija f(x) na intervalu [a,b]. Nedoločeni integral funkcije f je tako funkcija F(x) na [a,b], da je , za vsak .

Konstanta C je poljubna, saj je odvod konstante enak 0. Integrale navadno rešujemo s:

Z zamenjavo spremenljivk (Substitucija.)

Po delih (Per partes)

dv je del integrala, ki ga je treba integrirati, u pa del, ki ga je treba odvajati.

Z razcepom na parcialne ulomke

Integrali elemetarnih funkcij

V datoteki Integrali.pdf je navedenih nekaj osnovnih receptov za integriranje elementarnih funkcij.

Določeni integral

Določeni integral na mejah a in b:

Na določeni integral lahko geometrijsko gledamo kot na ploščino pod neko krivuljo.
Primer:

Ker je enak del grafa nad osjo x in pod njo.

Zveza med določenim in nedoločenim integralom ali osnovni izrek anlize

Če je f(x) integrabilna na [a,b] (to pomeni, da obstaja njen nedoločeni integral na mejah a in b, in je funkcija vmes zvezna oz. prelomljena le v končno mnogo točkah), potem določeni integral izračunamo tako, da najprej poiščemo kak nedoločeni integral F funkcije f in nato uporabimo formulo:

Primeri neelementarnih funkcij

Integralski sinus in kosinus.

Posplošeni integral

Integrali s parametrom

• Integral s parametrom

Preproste diferencialne enačbe

Stare domače naloge

• 27.10.2005

Naloge kar tako

• Rekurzivno zaporedje