Teorija residuov

definicija

Funkcija g ima ničlo z₀ reda (stopnje) n, če velja g(z₀) = 0, g'(z₀) = 0, g''(z₀) = 0, ..., g^{(n − 1)}(z₀) = 0 in .

definicija

in g ima v z₀ ničlo reda n, .

Potem pravimo, da ima f pol reda n

primer

,

g(z) = (z − i)² ima v i ničlo 2. reda,

torej f(z) ima v i pol drugega reda.

Razvijemo funkcijo v laurentovo vrsto okrog točke z₀

Ločimo 3 primere

1.) Če so C_n = 0 za vsak , potem je v z₀ odpravljiva singularnost

primer

V točki i je odpravljiva singularnost

Sledi

w = z − i

2.) Če so C_k = 0 za k > n in , potem ima funkcija v z₀ pol n-tega reda.

primer

Funkcija

ima v točki − i pol I. reda

Razvijemo funkcijo:

Torej

(residuum)

3.) Pri razvoju v Lurentovo vrsto okrog z₀ je za neskončno indeksov n. Potem imenujemo z₀ bistvena singularnost.

Primer

V točki z₀ = 0 ima funkcija bistveno singularnost.

(*)

Naj bo f analitična funkcija razen v nekaj singularnih točkah. Potem se da f razviti v Laurentovo vrsto okrog singularne točke z₀.

Obe strani integriramo po zaključeni krivulji.

Sledi po (*), da je

← residuum.

Če krivulja objame več singularnih točk, dobimo

Izrek

Naj bo f analitična funkcija znotraj sklenjene krivulje C, razen v končno mnogo točkah

Potem je

Izračun residuumov funkcije f v veliki točki z₀

1.)

Če je

potem je c₁ = 0 (z₀ ni singularna točka, ali pa je v z₀ odpravljiva singularnost)

2.)

Če je v z₀ pol I. stopnje

Sledi

3.)

Funkcija f ima v z₀ pol n-te stopnje

.

Skupaj odvajamo (n − 1)-krat

Dobimo

4.)

Funkcija f ima v z₀ bistveno singularnost, torej

Če hočemo dobiti residuum, moramo funkcijsko vrsto razviti v Laurentovo vrsto okrog z₀

primer

z = 0 ... pol I. reda

z = 1 ... pol I. reda

primer

c₁ = 1