Taylorjeva vrsta
Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja
Vsebina |
realnih funkcij
Če je f(x) v okolici točke a 
-krat zvezno odvedljiva, potem jo lahko zapišemo v obliki Taylorjeve vrste okoli točke a:
S taylorjevo vrsto dobimo aproksimacijo poljubnega reda (z odvodom lahko dobimo samo aproksimacijo 1. reda).
Taylorjev polinom
| 
|
|
Primeri
a = 0
(ex)n < eM
- sin 0 = 0
- cos 0 = 1
- -sin 0 = 0
- -cos 0 = -1
- sin 0 = 0
Konvergenca
f(x) − TN(x) = RN(x)
- RN
- ostanek taylorjeve vrste
- T0 = f(0)
T0(x) = 1
T1(x) = 1 + x
Polinom se z višanjem stopnje vedno bolj prilagaja funkciji e^x - konvergira k e^x
Ostanek/napaka
funkcijo razvijmo v taylorjevo vrsto
(dobimo z geometrijsko vrsto)
- R
- ostanek (napaka)
- R1
- ostanek (napaka) pri indeksu 1
Členi sinusa:
f(x)
kompleksnih funkcij
| (slika) | 
|
razvijemo kot geometrijsko vrsto
- Opomba
- Ker je formula za Taylorjevo vrsto kompleksne funkcije enaka kot v realnem delu, so razvoji elementarnih funkcij enaki (saj so odvodi funkcij enaki)
- Primer
- Primer
bi radi razvili okrog z0 = i !
