Spektralna analiza

Kaj je spektralna analiza

Rečemo ji tudi frekvenčna, harmonična ali Fourierjeva analiza. Naloga spektralne analize je določanje močnostnega spektra (X(ω)) končno dolgega signala. Močnostni spekter nam pove, kako je energija signala porazdeljena v frekvenčnem prostoru. Glede na spekter ločimo dve vrsti signalov:

• stacionarni: spekter se s časom ne spreminja
• nestacionarni: spekter se s časom spreminja (govor)

Spekter lahko določamo s Fourierjevo transformacijo:

.

Spekter lahko računam tudi z avtokorelacijo signala:

Avtokorelacija se uporablja predvsem pri nedeterminističnih signalih, za katere poznamo le statistične lastnosti.

Digitalna spektralna analiza

Spekter želimo določiti iz vzorcev signala. To lahko naredimo s Fourierjevo transformacijo za diskretne signale, a le, če ni aliasinga:

Metode za določanje spektra

Neparametrične metode

Računamo spekter končno dolgega signala; neskončno dolg signal pomnožimo z oknom. Torej računamo X_W(ω). Običajno ga računamo s FFT algoritmom. Omejitev, ki nastopi pri takem računanju je, da so frekvence ekvidistančne. Druga metoda je računanje spektra z množico filtrov. Tu ekvidistančne omejitve nimamo, saj so filtri lahko poljubno široki. Vsak filter da na svoj izhod energijo, izmerjeno v njegovem prepustnem področju. Izkaže se, da računanje FFT ni nič drugega kot množica filtrov. Tem filtrom pravimo ekvivalentni DFT filtri. Imajo kompleksni odziv na enotin impulz.

Neparametrične metode nas pripeljejo do dveh problemov:

• razmazanje zaradi končne širine vsakega filtra - daljše okno ga zmanjša
• puščanje - stranski valovi vsakega filtra - zmanjšamo z uporabo boljšega okna

Glede razmazanja je najboljše pravokotno okno, glede puščanja pa je pravokotno najslabše. Če vzamemo daljše okno, imamo probleme pri nestacionarnih signalih.

Parametrične metode

Spekter računamo posredno preko modela s parametri, ki jih moramo določiti. Postavimo predpostavko, da je signal, katerega spekter želimo določiti rezultat vzbujanja sistema z nekim vhodnim signalom.

Izhodišče:

• predpostavimo, da je signal x(n) izhod iz sistema H(z), ki ga vzbujamo s signalom u(n)
• predpostavimo, da je U(ω) = 1 (za u(n) lahko vzamemo tudi Diracovo funkcijo ali beli šum, katerega avtokorelacija je Diracova funkcija)
• predpostavimo, da je X(ω) = H(ω)

Če je , se problem določanja spektra prevede na iskanje parametrov a_l in b_l. Najpogosteje vzamemo za H(z) funkcijo, ki nima ničel. Za iskanje parametrov uporabim linearno predikcijo (avtoregresijo). To je enačba, ki iz prejšnjih vrednosti poskuša uganiti naslednje. Parametri se določijo z minimizacijo napake. Tako dobimo p linearnih enačb s p neznankami. Postopek:

• prevedemo prenosno funkcijo v diferencno enacbo sistema
• torej je
• diefiniramo se
• uvedemo napako
• minimiziramo srednjo kvadraticno napako
• iscemo minimum cez vse parametre s pomocjo odvajanja
• dobim sistem p-tih enacb, kjer je p stevilo paramtrov, ki jih dolocam

Poznamo dva pristopa reševanja p-tih enacb s p-timi neznankami:

• avtokorelacijska metoda: signal omejimo na širino N_W. Drugje ga postavimo na 0. Spet imamo množenje z oknom, kar je slabo (puščanje in razmazanje). Prednost te metode je hitro rekurzivno računanje. Potrebujemo samo p in ne p² operacij.
• (avto)kovariančna metoda: množenje z oknom ni potrebno. Napako minimiziramo samo v končno dolgem intervalu. Enačbe postanejo bolj zapletene, več računanja.

Na tak nacin dobimo b-je. Koeficient a lahko izracunamo tako, da predpostavimo, da sta si energija signala x(n) in energija signala enaki. Iz tega dobimo .

Vprašanja na ustnem izpitu

Dva problema spektralne analize in kako ju rešujemo

• puscanje (je posledica stranskih valov okenske funkcije. Zmanjsamo ga z uporabo boljse okenske funkcije. Pri pravokotnem oknu je puscanje najvecje),
• razmazanje (je posledica koncne dolzine okenske funkcije. Zmanjsamo ga z upostevanjem vecjega dela vhodnega signala, kar pa pri nestacionarnih signalih ne gre. Razmazanje je pri pravokotnem oknu najmanjse).

Za reševanje teh dveh problemov si preberi podpoglavje Metode za določanje spektra.

Glej tudi

• http://www.dspguide.com/specanal.htm