Smerni odvod skalarnega polja

Naj bo n skalarno polje in nek vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja .

Ogledamo si izraz

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri

Sledi

pri čemer je enotski vektor.

Torej

enostki

Trditev

Skalarno polje se najhitreje spreminja v smeri svojega gradienta

Dokaz

Smerni odvod je največji, ko je največji skalarni produkt , to pa je največ, ko ima isto smer kot gradient.

Še ena uporaba gradienta:

Naj bo u skalarno polje. Potem u(x,y,z) = C(*) določa ploskev v prostoru - nivojsko ploskev.

Odvajamo enačbo (*), pri čemer je vsaka od spremenljivk funkcija parametra

Dobili smo

Če so parametrizirane s parametrom t, potem določajo krivuljo na ploskvi. Torej je smer tangente na krivuljo, vse tangente na krivuljo skozi dano točko določajo tangentno krivuljo na ploskev

Dobili smo, da je normala na tangentno ravnino ploskve

Primer

Kakšna je enačba tangentne ravnine na dano ploskev v točki (1,0,4)?

z = 4(x² + y²)

• Izračunajmo normalo

; enačba ploskve je

• gradient

→ normala na ploskev

Normala v točki (1,0,4) je

• Enačba tangente

← vstavimo točko (1,0,4)

d = 4

Definicija

Skalarno polje je centralno, če je , pri čemer je

Primer

Izračunajmo gradient centralnega polja!

Definicija

Vektorsko polje je potencialno, če obstaja tako skalarno polje u, da je

Primer

Ali je to polje potencialno? DA!!!

Izračunajmo še koliko je

 ?

Definicija

Naj bo u skalarno polje. Potem

imenujemo Laplaceov operator. Enačbo

Δu(x,y,z) = 0

pa Laplaceova diferencialna enačba.

Opomba

V prejšnjem primeru smo videli, da je potencial u = g / r gravitacijskega polja zadošča Laplaceovi enačbi.

Opomba