Slučajne spremenljivke z neskončno mnogo vrednostmi

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Zgled

Mečemo kovanec dokler ne pade grb.

Slučajna spremenljivka X naj meri število metov do prvega grba.

X ... število metov

X lahko zavzame neskončno število vrednosti (vsa naravna števila)

X \sim \left( {\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & i \\ {\frac{1} {2}} & {\frac{1} {4}} & {\frac{1} {8}} & {\frac{1} {{16}}} & \cdots & {\frac{1} {{2^i }}} \\ \end{matrix} } \right)


Splošno

X \sim \left( {\begin{matrix} {x_1 } & {x_2 } & {x_3 } & {x_4 } & \cdots \\ {p_1 } & {p_2 } & {p_3 } & {p_4 } & \cdots \\ \end{matrix} } \right)


\sum_{i = 1}^\infty {p_i } = 1

Vrsta


E(X) = \sum_{i = 1}^\infty {x_i \cdot p_i }

Vrsta

D(X) = E(X^2 ) \cdot E(X)^2 = \sum_{i = 1}^\infty {x_i ^2 \cdot p_i } - \left( {E(X)} \right)^2


Matematično upanje in disperzija sta definirana samo takrat, kadar zgornji vrsi konvergirata.


\sum_{i = 1}^\infty {\frac{1} {{2^i }} = \sum_{i = 1}^\infty {\left( {\frac{1} {2}} \right)^i } }


Mečemo kovanec toliko časa da pade grb, kakšno bo naše povprečno število metov?

E(X) = \sum_{i = 1}^\infty {i \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right)^i} =\sum_{i = 0}^\infty {i \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right)^i } =
=f\left( {\frac{1}{2}} \right) =
=4 - 2 = 2\,\!
f(x) = \sum_{i = 0}^\infty {i \cdot x^i} = \sum_{i = 0}^\infty {\left( {(i + 1) \cdot x^i - 1 \cdot x^i } \right)}=
= \sum_{i = 0}^\infty {(i + 1) \cdot x^i } - \sum_{i = 0}^\infty {x^i }=
= \left( {\sum_{i = 0}^\infty {x^i } } \right)^\prime - \sum_{i = 0}^\infty {x^i } =
= \left( {\frac{1}{{1 - x}}} \right)^\prime - \frac{1}{{1 - x}} =
= \frac{1}{{(1 - x)^2 }} - \frac{1}{{1 - x}}

Disperzija

D(X) = E(X^2 ) - E(X)^2 = \sum_{i = 0}^\infty {i \cdot \frac{1}{{2^i }}} - 4



k(x) = \sum_{i = 0}^\infty {i^2 \cdot x^i } =

= \sum_{i = 0}^\infty {\left( {(i + 2) \cdot (i + 1) \cdot x^i - 3 \cdot i \cdot x^i - 2 \cdot x^i } \right)} =

= \left( {\frac{1} {{1 - x}}} \right)^{\prime \prime } - \frac{3} {{(1 - x)^2 }} + \frac{3} {{(1 - x)}} - \frac{2} {{\left( {1 - x} \right)}}


V igralnici igramo ruleto.

Stavimo na rdeče polje.

Če izgubimo stavimo trikrat toliko kot v prejšnjem krogu.

Naša prva stava je 1€.


Dobiček=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 5 & {14} & {41} & \cdots \\ {\frac{1} {2}} & {\frac{1} {4}} & {\frac{1} {8}} & {\frac{1} {{16}}} & {\frac{1} {{32}}} & \cdots \\ \end{matrix} \right)


V katerem krogu dobimo/koliko v tem krogu stavimo 

1 2 3 4  5  6
1 3 9 27 81 162
Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Slu%C4%8Dajne_spremenljivke_z_neskon%C4%8Dno_mnogo_vrednostmi«
Osebna orodja
Imenski prostori
Različice
Dejanja
navigacija

Tiskanje/izvoz
orodja