Slučajna spremenljivka

Slučajna spremenljivka je funkcija, katere rezultat ni odvisen od podatkov temveč od slučaja. Rezultat je realno število.

Označevanje

Označimo jih z velikimi črkami iz konca abecede (X,Y,Z).

Verjetnostna shema

Beremo kot: Slučajna spremenljivka X je porazdeljena v skladu z verjetnostno shemo, kjer se x₁ pojavi z verjetnostjo p₁, x₂ se pojavi z verjetnostjo p₂, ...

Slučajno spremenljivko opišemo z zalogo vrednosti in pri vsakem elementu iz zaloge vrednosti podamo še verjetnost, s kakšno verjetnostjo ta slučajna spremenljivka vrne to vrednost.

Za opis potrebujemo:

• zalogo vrednosti
• za vsak x_k iz zaloge vrednosti tudi verjetnost p_k ki je enaka verjetnosti dogodka, da slučajna spremenljivka X dobi to vrednost

Zgledi

• Mečemo kocko in preštejemo število pik.

funkcijske vrednosti: {1,2,3,4,5,6}

Verjetnostna shema:

• Vržemo 2 kocki in seštejemo vsoto števila pik na obeh kockah.

funkcijske vrednosti: {2,3,...,12}

Verjetnostna shema:

• Starost slučajno izbranega (naključnega) slovenca.

funkcijske vrednosti: {0,1,...,120}

• Ocena predmeta pri slučajno izbranem študentu, ki je lani opravil izpit.

• Vržemo 2 kovanca in 1 kocko: (Kaj je tukaj funkcijska vrednost in kaj verjetnost???)

Porazdelitve

Imamo dve pomembni porazdelitvi:

Enakomerna porazdelitev

Enakomerna porazdelitev: slučajna spremenljivka kjer imajo vsi izidi isto verjetnost in so enakomerno porazdeljeni.

(števila x morajo sestavljati aritmetično zaporedje)

Enakomerno porazdeljene so slučajne vrednosti pik na kocki.

Binomska porazdelitev

Binomska porazdelitev ima 2 parametra in je porazdeljena binomsko s parametroma n in p

n-krat ponovimo poizkus, v posamezni ponovitvi se dogodek zgodi z verjetnostjo p, potem štejemo kolikokrat se je ta dogodek zgodil v n poizkusih

X˜b(n,p)

Lastnosti

1. F je definirana na celotni realni osi: 0 ≤ F(x) ≤ 1 za vsak x∈R
2. F je naraščujoča: x₁<x₂ ⇒ F(x₁)≤F(x₂)
3. Velja in
4. Funkcija je od leve zvezna v vsaki točki F(x) = F(-x)

Primeri

Imamo tabelo:

	y=0	y=1	y=2
x=0	0,1	0,2	0,1
x=5	0,2	0,2	0,2

Kako je porazdeljena slučajna spremenljivka ?

	|y=0		|y=1		|y=2		|	×Z× = slučajna spremenljivka
--------+---------------+---------------+---------------+------
x=0	|0,1	×0×	|0,2	×5×	|0,1	×10×	|0,4	
x=5	|0,2	×5×	|0,2	×10×	|0,2	×15×	|0,6	
--------+---------------+---------------+---------------+------
	|0,3		|0,4		|0,3		|1	

Seštejemo verjetnosti, kjer se pojavi ista slučajna spremenljivka:

In zapišemo porazdelitev:

Izračunaj E(Z).

ali

Kdaj velja  ?

Takrat, ko sta X in Y nekolerirani.