Sestavljene izjave

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Enostavne izjave so izrazi.

Če sta $A$ in $B$ izjavna izraza in $*$ dvomestna izjavna povezava, potem je tudi $(A * B)$ izjavni izraz.

Če je $A$ izjavni izraz, potem je tudi ¬ $A$ izjavni izraz.

Vsebina

1 Resničnostna tabela
- 1.1 Primer
2 Lastnosti sestavljenih izjav
- 2.1 Izrek (o zameni v resnici )
  - 2.1.1 Primer
3 Prednosti med izjavnimi povezavami
- 3.1 Primeri

Resničnostna tabela

Če nas zanimajo vrednosti dane izjave pri vseh možnih vrednostih enostavnih izjav, jih običajno zapišemo v resničnostno tabelo dane izjave.

Primer

resničnostna tabela izjave $(p \lor \lnot q \Rightarrow \lnot p)$

p	q	$(p \lor \lnot q \Rightarrow \lnot p)$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	0

Lastnosti sestavljenih izjav

Če ima izjava vedno vrednost 1, pravimo, da je resnica ali tavtologija, če pa ima vedno vrednost 0, pravimo, da je laž ali protislovje.

Da je izjava A tavtologija, zapišemo z oznako $\models A$ .

Izrek (o zameni v resnici )

Naj bo $B (A)$ izjava, ki jo dobimo iz izjave $B (p)$ , v kateri nastopa enostavna izjava $p$ , z zameno vseh pojavitev izjave $p$ z izjavo $A$ . Potem, če velja $\models B(p)$ , velja tudi $\models B(A)$ .

Primer

Z uporabo izreka o zameni v resnici se prepričajmo, da je izjava $(r \lor s) \land (r \lor s \Rightarrow p \land q) \Rightarrow p \land q)$ resnica.

$A \equiv r \lor s$

$B \equiv p \land q$

$A \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow B$

Če dobljeno izjavo sedaj preverimo z resničnostno tabelo, ugotovimo, da je izjava resnica. Torej je tudi prvotna izjava $(r \lor s) \land (r \lor s \Rightarrow p \land q) \Rightarrow p \land q)$ resnica.

Prednosti med izjavnimi povezavami

$\lnot, (\land, \uparrow, \downarrow), (\lor,$ ⊻ $), \Rightarrow, \Leftrightarrow$

Najbolj veže negacija, najmanj pa ekvivalenca. Velja tudi pravilo združevanje z leve proti desni.

Primeri

$p \Rightarrow q \Rightarrow r = ((p \Rightarrow q) \Rightarrow r)$
$p \lor \lnot q \Leftrightarrow r \Rightarrow p = ((p \lor (\lnot q)) \Leftrightarrow (r \Rightarrow p))$
$p \lor q \Leftrightarrow r \land s \Rightarrow \lnot t = ((p \lor q) \Leftrightarrow ((r \land s) \Rightarrow (\lnot t)))$