Rombergova metoda

<<Numerična matematika

Kadar je funkcija, ki jo integriramo vsaj 2k+2-krat odvedljiva, se da pokazati, da lahko napako trapezne formule razvijemo v konvergentno vrsto po sodih potencah h:

kjer konstante C_1,...,C_k niso odvisne od h.

Izpeljemo (knjiga str. 125):

in velja

Da bi izračunalni T_k(h / 2^k), moramo najprej izračunati vrednosti T_{k − 1}(h / 2^{k − 1}) in T_{k − 1}(h / 2^k), da bi jih izračunali potrebujemo tudi T_{k − 2}(h / 2^{k − 2}), T_{k − 2}(h / 2^{k − 1}) in T_{k − 2}(h / 2^k), ... in končno T(h / 2^k), ..., T(h / 2) in T(h). Vse te vrednosti najlažje predstavimo v Rombergovi tabeli:

Algoritem: Rombergova metoda Naj bo f zvezna funkcija na [a,b] in k naravno število. Naslednji algoritem izračuna približke T_n(h / 2^m) iz Rombergove tabele.

h=b-a
T(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2
for m=2:k+1
    h=h/2
    T(m,1)=T(m-1,1)/2
    s=0
    for i=1:2^(m-2)
        s=s+f(a+(2*i-1)*h)
    end
    T(m,1)=T(m,1)+h*s
    for n=2:m
        T(m,n)=(4^(n-1)*T(m,n-1)-T(m-1,n-1)/(4^(n-1)-1)
    end
end