Prostornina

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

slika 9

Ploščina preseka = A(x)

$δ x = d e b e l i n a$

Če seštejemo vse "rezine" dobimo volumen.

$\lim_{\max \delta x \rightarrow 0} \sum A(x)dx = \int_{x_1}^{x_2} A(x) dx$

Vsebina

1 Primeri

Primeri

Valj

Valj je odrezan s kotom 45° in pod pravim kotom.

slika 10

Dobimo kos klinaste oblike.

slika 11

Vsak odsek v x smeri je polkrog

slika 12

 $x 2 + y 2 = a 2$

$A(x) = \frac{y^2}{2} = \frac{a^2-x^2}{2}$

$V = \frac12 \int_{-a}^a (a^2-x^2)dx = \frac{2a^3}{3}$

Krivulja zavrtena okoli osi

f = f(x)

slika 13

Prečni prerezi so vsi krogi.

 $A (x) = π(f (x)) 2$

Krogla

Krogla je krožnica zavrtena okoli svojega premera.

slika 14

$x 2 + y 2 = a 2$

$y = \sqrt{a^2-x^2}$

$V = 2\pi \int_{0}^{a} (a^2-x^2) = 2\pi a^3 (1-\frac13 ) = \frac{4\pi a^3} 3$

Cikloida

Izračunaj volumen cikloide zavrtene okoli x osi.

 $x = a (t - sin t)$ 
 $y = a (1 - cos t)$

$V = \pi \int_0^{2 \pi a} y^2 dx =\pi a^3 \int_0^{2 \pi} (1-\cos t)^3 dt =$ $\pi a^3 \int_0^{2 \pi} (1-3 \cos t + 3 \cos^2 t - \cos^3 t ) dt =$ $\pi a^3 \int_0^{2 \pi} (1+3 \cos^2t) dt = \pi a^3 (2 \pi + 3 \int_0^{2\pi} \cos^2 t dt)$ $=2 \pi^2 \cos^3 + \frac32 \pi a^3 2\pi dt = 5\pi^2 a^3$