Potenčne vrste

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Potenčna vrsta je vsaka vrsta, ki jo lahko zapišemo kot:

$\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n$

Konvergenčno območje

Konvergenčno območje je območje v katerem potenčna vrsta konvergira.

Absolutna konvergenca

$\lim_{i \rightarrow \infty} \frac{|a_i (x-a)^i|}{|a_{i+1}(x-a)^{i+1}|} =$ $\lim \left| \frac{a_{i+1}(x-a)^{i+1}}{a_{i+1}(x-a)^{i+1}} \right| =$ $| x - a | \lim_{i \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{i+1}}{a_i} \right| = L \ge 0$

Vrsta bo konvergirala, če bo $| x - a | < L$

R - konvergenčni radij/polmer: polovica širine intervala

$| x-a|<\frac{1}{L} := R$

-R < x = x - a < R

-R < x - a

a - R < x

x - a < R

x < a + R

Potenčna vrsta konvergira na odprtem intervalu (A-R,A+R)

$\;\! (a-R,A+r) Ak$

$\left. \begin{matrix} (-\infty,a-R) \\ (a+R,\infty) \end{matrix} \right\} D$

$\forall r \;\;\;\; |r| < R$

znotraj intervala (a-r,a+r) enakomerno konvergira

Primer

$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

je potenčna vrsta
konvergentna na simetričnem intervalu

Izračunajmo konvergenčni polmer.

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{ \frac{x^n}{n!} }{ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} } \right| =$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{|x|} = \infty \rightarrow R$