Ortogonalni polinomi nad sistemom točk

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

V prejšnjem poglavju smo aproksimacijski polinom zapisali kot linearno kombinacijo potenc $x j$ in smo dobili normalni sistem enačb. Če pa aproksimacijski polinom zapišemo kot linearno kombinacijo polinomov $t j (x); J = 0,..., k$ , stopnje j, ki so ortogonalni na sistemu med seboj različnih točk $x i; i = 1,..., n$ , dobimo aproksimacijsko funkcijo

$p(x)=\sum_{j=0}^k c_j t_j(x); c_j=\frac{\textstyle \sum_{i=1}^n f_it_j(x_i)}{\textstyle \sum_{i=1}^n t_j^2(x_i)}$

Imamo dve lastnosti ortogonalnih polinomov na sistemu točk.

Izrek Vsak polinom $t m$ iz ortogonalnega zaporedja polinomov je ortogonalen na vse polinome nižje stopnje

$\sum_{i=1}^n t_m(x_i)p_j(x_i)=0\; za\; j<m.$

Izrek Zaporedje moničnih ortogonalnih polinomov zadošče tričlenski rekurzivni relaciji

$t i + 1 (x) = (x - α i + 1) t i (x) - β i t i - 1 (x),$

kjer so koeficienti $α i$ in $β i$ določeni z

$\alpha_i = \frac{\textstyle \sum_{j=1}^n x_j t_{i-1}^2(x_j)}{\textstyle \sum_{j=1}^n t_{i-1}^2(x_j)}$

$β 0 = 0$

$\beta_i = \frac{\textstyle \sum_{j=1}^n t_{i}^2(x_j)}{\textstyle \sum_{j=1}^n t_{i-1}^2(x_j)}$

prvi šlen zaporedja pa je $t 0 (x) = 1$ .

Algoritem: Ortogonalni polinomi

[m,n]=size(x)
t=zeros(k,n)
a=zeros(k,1)
b=zeros(k,1)
t(1,:)=ones(1,n)
t(2,:)=x-sum(x)/n

for i=2:k
     a(i+1)=(x*(t(i,:).*t(i,:))')/(t(i,:)*t(i,:)')'
     b(i)=t(i,:)*t(i,:)'/(t(i-1,:)*t(i-1,:)')
     t(i+1,:)=(x(:)-a(i+1)).*t(i,:)-b(i)*t(i-1,:)
end

Računanje aproksimacijskih polinomov, izraženih s pomočjo ortogonalnih polinomov ima prednosti pred izražavo s potencami:

Normalni sistem, zapisan z ortogonalnimi polinomi ima giagonalno obliko in je torej enostavno rešljiv. Normalni sistem, izražen s potencami, je pogosto slabo pogojen.
Kadar z natančnostjo izračunanega aproksimacijskega polinoma nismo zadovoljni, mu lahko enostavno dodamo naslednji člen.

Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Ortogonalni_polinomi_nad_sistemom_to%C4%8Dk«

Ortogonalni polinomi nad sistemom točk

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Osebna orodja

Imenski prostori

Različice

Pogled

Dejanja

Iskanje

navigacija

Tiskanje/izvoz

orodja