Omejene podmnožice realnih števil

Navzgor omejena množica

Definicija

Množica , je navzgor omejena podmnožica , če je in, če obstaja tako število , da je za vsak .

M je zgornja meja A.

Navzgor omejena množica ima veliko različnih zgornjih mej.

Natančno zgornjo mejo imenujemo supremum (sup A).

Navzdol omejena množica

Definicija

Množica , je navzdol omejena podmnožica , če je in, če obstaja tako število , da je za vsak .

m je spodnja meja A.

Navzdol omejena množica ima veliko različnih spodnjih mej.

Natančno spodnjo mejo imenujemo infimum (inf A).

Omejena množica

Množica A je omejena podmnožica , če je omejena navzor in navzdol.

To je res natanko takrat, kadar obstaja tako število , da je za vsak .

Maksimum množice

sup A ni nujno element množice A

sup A označimo kot max A , če je

Lastnost kontinuuma

V množici realnih števil ima vsaka neprazna, navzgor omejena podmnožica svojo natančno zgornjo mejo.

Možica racionalnih števil , te lastnosti nima.

ima natančno zgornjo mejo v .

, vendar .

Posledica lastnosti kontinuuma

Za vsak in za vsak obstaja . To je tako število b, da je bⁿ = a.

Kako dobmo ?

A je navzgor omejena. Torej obstaja sup A = b. Zanj velja bⁿ = a.