Odvodi in diferenciali funkcij več spremenljivk

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

$\! z = f(x,y)$ je definirana na $D_f \subseteq \mathbb{R}^2$

$x_0, y_0 \in D_f , \varepsilon$ - okolica ( $x_0,y_0) \subseteq D_f$

eno od spremenljivk lahko zamrznemo:

$\! f_1(x) = f(x,y_0)$

če je funkcija odvedljiva obstaja limita diferenčnega kvocienta:

parcialni odvod funkcije f po spremenljivki x:

$f_1'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_1(x+h)-f_1(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h,y_0)-f(x,y_0)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x} = f_x$

$\! f_2(y) = f(x_0,y)$

parcialni odvod funkcije f po spremenljivki y:

$f_2'(y) = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f_2(x+k)-f_2(x)}{k} = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y)}{k} = \frac{\partial f(x_0,y)}{\partial y} = f_y(x_0,y)$

$f(x,y) = x e^{\frac{y}{x}}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = (1 - \frac{y}{x}) e^{\frac{y}{x}}$

Funkcija več spremenljivk

Funkcija več spremenljivk $f (x 1, x 2,..., x n)$ je definirana na nepraznem območju D_f: $(x_{1,0}, x_{2,0}, ... , x_{n,0}) \in D_f$

$f_{x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim \frac{f(x_1,x_2,...,x_i+h, ... x_n)-f(x_1,x_2,...,x_i, ... x_n)}{h}$

$u = z \cdot \arctan \left ( \frac{x}{y} \right )$

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{z \frac{1}{y} }{1 + \frac{x^2}{y^2}} = \frac{yz}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{ z \cdot ( - \frac{x}{y^2} }{1 + \frac{x^2}{y^2}} ) = \frac{-xz}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial u}{\partial z} = \arctan \frac{x}{y}$

Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Odvodi_in_diferenciali_funkcij_ve%C4%8D_spremenljivk«

Kategoriji: UL/FRI/VSP-RI/ANA2 | Matematika

Osebna orodja

Tiskanje/izvoz

orodja