Numerično odvajanje

<<Numerična matematika

Direktna formula

Ker je odvod definiran kot

dobimo najenostavnejšo direktno formulo za izračun odvoda tako, da vzamemo dovolj majhen h in je

z napako

ki je očitno sorazmerna h.

Odvajanje interpolacijskega polinoma

Naj bo p₁(x) linearni polinom, ki interpolira vrednosti funkcije f v točkah x₀ − h in x₀, torej po Newtonovi interpolacijski formuli:

kar odvajamo

Tako smo dobili obratno formulo ki je podobna direktni. Tudi njena napaka je sorazmerna h.

Metoda nedoločenih koeficientov

Odvod funkcije f aproksimiramo kot linearno kombinacijo njenih vrednosti v sosednjih točkah - vzemimo kar točke x₀ − h, x₀ in x₀ + h:

izračunamo in dobimo:

z napako

ki je očitno sorazmerna h². Torej je ta metoda natančnejša tako od direktne kot od obratne metode.

Drugi odvod

Na podoben način kot pri metodi nedoločenih koeficientov za 1. odvod lahko 2. odvod prav tako izrazimo z linearno kombinacijo . Izračunamo :

z napako

Vpliv nenatančnih funkcijskih vrednosti

Če je največja dovoljena napaka pri računanju vrednosti funkcije f, potem je napaka direktne formule:

Razvidno je, da za velike h predstavlja glavni del napake drugi člen, za majhne pa prvi. Celotna napaka je najmanjša, kadar sta prispevka obeh členov enaka, to je kadar:

kar pomeni, da ocena za napako ne more biti manjša od , ne glede na to, s kakšnim h računamo.