Normalne porazdelitve

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

$g(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }} \cdot e^{ - \frac{{(x - \sigma )^2 }}{{2\sigma ^2 }}}$

1.) $g(x) \ge 0$

2.)

$\int_{ - \infty }^\infty {g(x)dx}$	$= \int_{ - \infty }^\infty {g(x)dx \cdot e^{ - \frac{{(x - \sigma )^2 }}{{2\sigma ^2 }}} }=$
	$= \int_{ - \infty }^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}e^{ - \frac{{(x - \sigma )^2 }}{{2\sigma ^2 }}}}=$
	$= \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int_{ - \infty }^\infty {e^{ - \frac{{t^2 }}{2}} } dt=$
	$= 1\;\!$

3.) g(x) je zvezna

Standardna normalna porazdelitev

Je normalna porazdelitev s standardno deviacijo 1.

N(0,1)

Njeno gostoto verjetnosti označimo z

$\varphi (x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}e^{ - \frac{{x^2 }}{2}}$

(slike)

Trdimo

$E(N(a,\sigma)) = a\;\!$

$D(N(a,\sigma))=\sigma^2\;\!$

Izrek

$X ˜ N (a,σ)$

$Z = \frac{{X - a}}{\sigma } \sim N(0,1)$

Izračunaj verjetnost dogodka, da je slučajna spremenljivka x med a in b.

$P(\alpha < x \le \beta )$	$= \int_\alpha ^\beta {\frac{1}{{\sigma \sqrt 2 }} \cdot e^{ - \frac{{(x - a)^2 }}{{2\sigma ^2 }}} dx}=$
	$= P\left( {\frac{{\alpha - a}}{\sigma } < \frac{{x - a}}{\sigma } \le \frac{{\beta - a}}{\sigma }} \right)=$
	$= P\left( {\frac{{\alpha - a}}{\sigma } < Z \le \frac{{\alpha - a}}{\sigma }} \right)$

Če želimo izračunati pri normalno porazdeljeni slučajni spremenljivki, je dovolj znati izračunati ustrezne dogodke oz. njihove verjetnosti standardne normalne slučajne spremenljivke.

Zgled

Normalna slučajna spremenljivka je porazdeljena normalno

$E(X)=10\;\!$

$\sigma(x)=2\;\!$

$X \sim N(10,2)\;\!$

Izračunaj $P(9\le X \le 12)$

$P(9\le X \le 12)=P(9 < X \le 12)=P(-1 < X \le 2) = P(-\frac{1}{2} < \frac{x-10}{2} \le 1)$

Če imamo $Z=\frac{x-10}{2}\;\!$ je $Z~N(0,1)\;\!$

$P(\alpha < x \le \beta ) =$	$= \int_0^{\frac{1}{2}} {\varphi (X)dx} + \int_0^1 {\varphi (X)dx} =$
	$= \Phi \left( {\frac{1}{2}} \right) + \Phi (1) =$
	$= 0,1915 + 0,3413 =\;\!$
	$= 0,5328\;\!$