Normala na ploskev

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Vsebina

Ploskev podana parametrično

Naj bo ploskev podana v parametrični obliki. V točki \vec r(u_0, v_0) bi radi zapisali enačbo tangentne ravnine (to je ravnine, ki se najbolj prilega ploskvi v tej točki - jo najbolje aproksimira)

Skozi točko \vec r(u_0, v_0) gresta koordinatni krivulji \vec r_1(u) = \vec r(u,v_0) in \vec r_2 = \vec r(u_0,v).
Poiščemo tangenti na ti dve krivulji \vec r_1'(u_0) = \vec r_u(u_0, v_0) in \vec r_2' = \vec r_v(u_0, v_0)

Normala tangentne ravnine je potem \vec n(u_0,v_0)= \vec r_u(u_0,v_0)\times\vec r_v(u_0,v_0)

Točka na tangentni ravnini je \vec r(u_0,v_0), torej je enačba tangentne ravnine 

((x, y, z)-\vec r(u_0,v_0))\circ\vec n(u_0,v_0) = 0
Opomba
Tangentna ravnina je neodvisna od izbrane parametrizacije ploskve.

Ploskev podana eksplicitno

z = z(x,y)\,\!

\Rightarrow\vec r(x,y) = (x, y, z(x,y))

x in y sta v tem primeru primarna parametra.

Ploskev podana implicitno

F(x,y,z)=0\,\!
F(x,y,z(x,y))=0\,\!
F_x + F_z\cdot z_x = 0 \qquad z_x = p = -\frac{F_x}{F_z}\,\!
F_y + F_z\cdot z_y = 0 \qquad z_y = q = -\frac{F_y}{F_z}\,\!

\vec n = (-p, -q, 1) = \left( \frac{F_x}{F_z},\frac{F_y}{F_z},1 \right) = (F_x, F_y, F_z)\,\!
Primer

x^2 + y^2 = z^2 \qquad T(3,4,5)

F(x,y,z) = x2 + y2 − z2 = 0
Fx = 2x
Fy = 2y
Fz = − 2z
\vec n=(2x, 2y, -2z) = 2(x,y,-z)
\vec n_{(T)}=(3,4,-5)
3x + 4y − 5z = d (d dobimo tako, da vstavimo točko T)
3\cdot3 + 4\cdot4 -5\cdot5 = d = 0 
3x + 4y − 5z = 0 (ravnina gre skozi koordinatno izhodišče)

Ločni element na ploskvi

Ponovitev

s=\int \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2}\, dt \qquad \dot s= \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2} \qquad \dot s^2 = \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2

Parametrično

Naj bo u funkcija parametra t, torej u = u(t) in v = v(t)
Dobimo \vec r (u(t), v(t)) je krivulja na ploskvi \vec r(u, v)

\dot s^2 = \vec\dot r^2
\vec\dot r = \vec r_u^2\cdot \dot u + \vec r_v^2\cdot \dot v
\vec\dot r \circ \vec\dot r = (\vec r_u^2\cdot \dot u + \vec r_v^2\cdot \dot v) \circ (\vec r_u^2\cdot \dot u + \vec r_v^2\cdot \dot v)
= \vec r_u \circ \vec r_u \dot u^2 + 2 \vec r_u \circ \vec r_v \dot u \dot v + \vec r_v \circ \vec r_v \dot v^2 
E = \vec r_u \circ \vec r_u
F = \vec r_u \circ \vec r_v
G = \vec r_v \circ \vec r_v

Dobili smo, da je ločni element: 

ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2\,\!
Opomba
Če je F = 0, potem so koordinatne krivulje pravokotne.
Primer
x=\cos\vartheta\,\cos\varphi
y=\cos\vartheta\,\sin\varphi
z=\sin\vartheta\,\!

\vec r(\varphi,\vartheta) = (\cos\vartheta\,\cos\varphi, \cos\vartheta\,\sin\varphi, \sin\vartheta)

\vec r_\varphi = (-\cos\vartheta\,\sin\varphi, \cos\vartheta\,\cos\vartheta, 0)
\vec r_\vartheta = (-\sin\vartheta\,\cos\varphi, \sin\vartheta\,\sin\vartheta, \cos\vartheta)
E = \vec r_u \circ \vec r_u = \cos^2\vartheta
F = \vec r_u \circ \vec r_v = 0 \Rightarrow koordinatne krivulje so pravokotne
G = \vec r_v \circ \vec r_v = 1
Velja
|\vec r_u \times \vec r_v|^2 = EG - F^2
Opomba
Normirana normala \vec\nu
\vec\nu = \frac{\vec r_u \times \vec r_v}{|\vec r_u \times \vec r_v|} = \frac{\vec r_u \times \vec r_v}{\sqrt{EG - F^2}}
Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Normala_na_ploskev«
Osebna orodja
Imenski prostori
Različice
Dejanja
navigacija

Tiskanje/izvoz
orodja