Neodvisnost krivuljnega integrala od poti

V splošnem je

Odvisen od poti krivulje C.

Definicija

Izraz

imenujemo eksakten, če obstaja skalarna funkcija u, da je

Drugače povedano:

izraz je eksakten,

če je

Izrek

Krivuljni integral

je neodvisen od poti, če je izraz eksakten.

Velja tudi obratno; če je integral neodvisen od poti je izraz eksakten.

Če je

je tudi

Primer

Izrek

Integral e neodvisen od poti natanko tedaj, ko je integral po vsaki zaključeni poti enak nič.

Dokaz

Denimo, da je integral neodvisen od poti. Ali je potem integral po zaključeni krivulji enak nič?

Denimo, da je integral po zaključeni ploskvi enak nič, podobno dobimo, da je integral neodvisen od poti.

Definicija

Pravimo, da je območje enostavno povezano, če se da vsaka sklenjena krivulja zvezno skrčiti v točko, tako da je krivulja ves čas del območja.

Enostavno povezana območja so brez lukenj.

Izrek

Če je

neodvisen od poti, potem je

Če je območje enostavno povezano je integral

neodvisen od poti na tem območju.

Dokaz

(le v eno smer)

Denimo, da je integral neodvisen od poti. Potem je

.

Izračunamo

Opomba

Izrek brez pogoja o enostavni povezanosti območja ne drži!

Primer

velja

Izberemo si zaključeno krivuljo x² + y² = 1. Krivuljo parametriziramo

Integral je po zaključeni poti krivulje različen od nič odvisen od poti