Neenačba Čebiševa

Neenačba Čebiševa ocenjuje kakšna je verjetnost, da se slučajna spremenljivka veliko razlikuje od matematičnega upanja.

Izrek

Imamo slučajno spremenljivko X

vzamemo poljubno število t > 0

Opazujemo dogodek:

Dokaz

izberimo t>0

Slučajno spremenljivko zapišemo z verjetnostno shemo:

matematično upanje E(X) pade med x₁x₂ in x_i

predenj E(X)-t

za x_i pade E(X)+t

verjetnost izračunamo tako, da seštejemo p-je ki ležijo levo in desno od E(X)

to se zgodi natanko tedaj

če kvadriramo

vsakega pomnožimo z nečim večjim od ena

Primeri

Načini uporabe neenakosti čebiševa:

Met kovanca

Kovanec vržemo 1000x. Oceni verjetnost, da bo število grbov, ki padejo:

1. med 400 in 600
2. med 450 in 550
3. med 490 in 510

X

slučajna spremenljivka, ki šteje število grbov v 1000 metih

porazdelitev: gre za 1000 neodvisnih poizkusov, v posameznem poizkusu pade z verjetnostjo 1/2

porazdeljen je binomsko:

matematično upanje je:

E(X) = 500

disperzija je :

neenakost čebiševa pravi:

1.

zapišemo z nasprotnim dogodkom

to se da oceniti kot neenakost čebiševa

ker je minus gredo verjetnosti v nasprotno smer

2.

verjetnost da se razlikuje za več kot 51

in se oceni po neenačbi čebiševa kot

3.

verjetnost da se razlikuje za manj kot 10

verjetnost da se razlikuje za več kot 11

in se oceni po neenačbi čebiševa kot

zadnja ocena ni uporabna, ker je verjetnost večja kot -1 kar nima pomena

včasih iz neenakosti čebiševa ne dobimo uporabnega rezultata

realne vrednosti - neenakost čebiševa zgreši rezultat za določen del:

1

0,9999999998198

2

0,998609

3

0,4933

Met kocke

Kocko vržemo 120x. Oceni verjetnost, da bo število šestic med 15 in 25.

Slučajna spremenljivka X je porazdeljena binomsko - 120 med seboj neodvisnih poizkusov z verjentostjo da pade 6

matematično upanje E(X) = 20

disperzija

ocenjujemo verjetnost

kar je po definiciji nasprotnega dogodka

neenakost čebiševa pravi, da je to:

Trditev:

če je X slučajna spremenljivka, ki zagotovo zavzame neko vrednost

• Kovanec vržemo 1000 krat. Oceni verjetnost, da bo število grbov
  1. Med 400 in 600
  2. Med 450 in 550
  3. Med 490 in 510

X = število grbov v 1000 metih kovanca - slučajna spremenljivka

1. 
2. 
3. ni uporabna, verjetnost mora biti vsaj 0

Popolnoma pravilne (na dolg način izračunane) rešitve so:

1. 0,9999999998198
2. 0,998608
3. 0,4933

• Kocko vržemo 120 krat, oceni verjetnost, da pade med 15 in 25 šestic.

Popolnoma pravilna (na dolg način izračunana) rešitev je: 0,8234