Navzkrižne porazdelitve

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Primer

Imamo:

5 kovancev v vrednosti 1$,

2 kovanca v vrenosti 2$,

1 kovanec v vrednosti 5$

Kolikšno skupno vrednost dveh kovancev lahko potegnemo iz vrečke, ki vsebuje vseh 15 kovancev?

$X 1$ = vrednost kovanca, ki ga izvlečemo
$E (X 1)$ = ? zanima nas matematično upanje

$X_1 \sim \left( {\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ {\frac{5}{8}} & {\frac{2}{8}} & {\frac{1}{8}} \\ \end{matrix} } \right)$ porazdelitev verjetnosti

$E(X_1 ) = 1 \cdot \frac{5}{8} + 2 \cdot \frac{2}{8} + 5 \cdot \frac{1}{8} = \frac{{14}}{8} = \frac{7}{{14}}$ matematično upanje

Napiši navzkrižno porazdelitev.
- Z vračanjem.
- Brez vračanja.
Potem napiši še porazdelitev Slučajna spremenljivka S in izračunaj E(S).

S = X 1 + X 2

Z vračanjem
	$X_1=1\,\!$	$X_1=2\,\!$	$X_1=5\,\!$
$X_2=1\,\!$	$\frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8}$	$\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{8}$	$\frac{5}{8} \cdot \frac{1}{8}$	$\frac{5}{8}$
$X_2=2\,\!$	$\frac{2}{8} \cdot \frac{5}{8}$	$\frac{2}{8} \cdot \frac{2}{8}$	$\frac{2}{8} \cdot \frac{1}{8}$	$\frac{2}{8}$
$X_2=5\,\!$	$\frac{1}{8} \cdot \frac{5}{8}$	$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{8}$	$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$
	$\frac{5}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{1}{8}$	$1\,\!$

X1 in X2 sta neodvisni

$P(X_1=x_1,X_2=x_2)=P(X_1=x_1) \cdot P(X_2=x_2)$

$S \sim \left( {\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & 6 & 7 & {10} \\ {\frac{{25}}{{64}}} & {\frac{{20}}{{64}}} & {\frac{4}{{64}}} & {\frac{{10}}{{64}}} & {\frac{4}{{64}}} & {\frac{1}{{64}}} \\ \end{matrix} } \right)$

$E(S) = 2 \cdot \frac{{25}} {{64}} + 3 \cdot \frac{{20}} {{64}} + 4 \cdot \frac{4} {{64}} + 6 \cdot \frac{{10}} {{64}} + 7 \cdot \frac{4} {{64}} + 10 \cdot \frac{1} {{64}} = \frac{{224}} {{64}} = \frac{7} {2}$

Brez vračanja
	$X_1=1\,\!$	$X_1=2\,\!$	$X_1=5\,\!$
$X_2=1\,\!$	$\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7}$	$\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{7}$	$\frac{5}{8} \cdot \frac{1}{7}$	$\frac{5}{8}$
$X_2=2\,\!$	$\frac{2}{8} \cdot \frac{5}{7}$	$\frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7}$	$\frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7}$	$\frac{2}{8}$
$X_2=5\,\!$	$\frac{1}{8} \cdot \frac{5}{7}$	$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{7}$	$\frac{1}{8} \cdot 0$	$\frac{1}{8}$
	$\frac{5}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{1}{8}$	$1\,\!$

X1 in X2 sta odvisni

$P(X_1=5,X_2=5)=0\,\!$

$P(X_1=5) \cdot P(X_2=5)=1/64$

$S \sim \left( {\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & 6 & 7 \\ {\frac{{20}} {{56}}} & {\frac{{20}} {{56}}} & {\frac{2} {{56}}} & {\frac{{10}} {{56}}} & {\frac{4} {{56}}} \\ \end{matrix} } \right)$

$E(S) = \frac{{2 \cdot 20 + 3 \cdot 20 + 4 \cdot 2 + 6 \cdot 10 + 7 \cdot 4}} {{56}} = \frac{{196}} {{56}} = \frac{7} {2}$

$E(S) = E(X_1 + X_2 ) = E(X_1 ) + E(X_2 ) = \frac{7} {4} + \frac{7} {4} = \frac{7} {2}$

Primer 2

Imamo tabelo

	y=0	y=1	y=2		
x=0	0,1	0,2	0,1
x=5	0,2	0,2	0,2

Izračunaj:

E(X)
E(Y)
E(XY)
D(X)
D(Y)
K(X,Y)

Pripišemo seštevke:

	y=0	y=1	y=2		
x=0	0,1	0,2	0,1	0,4
x=5	0,2	0,2	0,2	0,6
	0,3	0,4	0,3	1

$X \sim \left( {\begin{matrix} 0 & 5 \\ {0,4} & {0,6} \\ \end{matrix}} \right)$

$E(X) = 0 \cdot 0,4 + 5 \cdot 0,6 = 3$

$Y \sim \left( {\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ {0,3} & {0,4} & {0,3} \\ \end{matrix}} \right)$

$E(Y) = 0 \cdot 0,3 + 1 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,3 = 1$

$X^2 \sim \left( {\begin{matrix} 0 & {25} \\ {0,4} & {0,6} \\ \end{matrix}} \right)$ (POZOR: pri kvadriranju kvadriramo samo ZGORNJO vrstico!)

$E(X^2 ) = 25 \cdot 0,6 = 15$

$Y^2 \sim \left( {\begin{matrix} 0 & 1 & 4 \\ {0,3} & {0,4} & {0,3} \\ \end{matrix}} \right)$

$E(Y^2 ) = 0,4 + 4 \cdot 0,3 = 1,6$

$D(X) = E(X^2 ) - (E(Y))^2 = 15 - 9 = 6\,\!$

$D(Y) = E(Y^2 ) - (E(Y))^2 = 1,6 - 1 = 0,6 \,\!$

$E(XY) = 0 \cdot 0 \cdot 0,1 + 0 \cdot 1 \cdot 0,2 + 0 \cdot 2 \cdot 0,1 + 5 \cdot 0 \cdot 0,2 + 5 \cdot 1 \cdot 0,2 + 5 \cdot 2 \cdot 0,2 = 2 + 1 = 3$