Naravni parameter

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Za krivuljo lahko poiščemo tak parameter, da bo dolžina krivulje od začetne točke do točke pri dani vrednosti parametra enaka vrednosti parametra. Tak parameter imenujemo naravni parameter.

Naravni parameter s
krivulje \vec r(t) = (x(t), y(t), z(t)) kjer je t poljuben parameter, dobimo po formuli 
s(t) = \int_{0}^{t}\sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2 + \dot{z}(t)^2} dt
Če za primer vzamemo vijačnico 
\vec r(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)
in vstavimo parametrizirane komponente, dobimo:
\begin{matrix} s(t)& = & \int_{0}^{t}\sqrt{a^2 + k^2} dt \\ \ & = & \left . \sqrt{a^2 + k^2} t \right |_0^t \end{matrix}
s(t) = \sqrt{a^2 + k^2} t

Da pridemo do naravnega parametra t izrazimo z s-om t(s):

t= \frac{s}{\sqrt{a^2 + k^2}}

in dobimo vijačnico zapisano z naravnim parametrom: 

 \vec r(s) = (a \cos \frac{s}{\sqrt{a^2 + k^2}}, a \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 + k^2}}, k \frac{s}{\sqrt{a^2 + k^2}})
primer

Izračunajmo točko od končne točke t=0 do točke kjer je dolžina enaka s = \sqrt{5}, a = 2, k = 1. 

 \vec r(s) = \left(a \cos \left(\frac{s}{\sqrt{a^2 + k^2}} \right), a \sin \left(\frac{s}{\sqrt{a^2 + k^2}}\right), k \frac{s}{\sqrt{a^2 + k^2}}\right) 

\begin{matrix} \vec r\left(\sqrt{5}\right) &
= & \left(2 \cos \left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\right), 2 \sin \left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\right), 1 \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\right) \\ \ &
= & (2 \cos(1), 2 \sin(1), 1)
\end{matrix}
\vec r(\sqrt{5})= (0, 2, 1)
Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Naravni_parameter«
Osebna orodja
Imenski prostori
Različice
Dejanja
navigacija

Tiskanje/izvoz
orodja