Napake numeričnih metod

Napake numeričnih metod nastanejo zato, ker reševanje temelji na približnih podatkih. Tako se pojavi tudi napaka pri rezultatu.

Viri napak

• matematični model

ni popoln opis fizikalnega modela

ne vemo vseh podrobnosti

• človeški faktor

napake pri računanju

napake pri programiranju

• napaka v računalniku

napaka v aritmetični enoti cpu

• nenatančni podatki

napaka pri meritvi

• računanje z omejeno natančnostjo

zaokroževalne napake

Izvori napak

• Napake numeričnih metod

ko hočemo neskončni proces rešiti v končnem času (npr. računanje limite, integrala)

absolutna napaka = približna vrednost - točna vrednost

relativna napaka = | (absolutna) napaka | / točna vrednost

Primer

točna vrednost

približna vrednost

absolutna napaka

An = 3.142857142857143 − π = 0.001264489267349761

relativna napaka

σ = predznak števila (1 bit)

= mantisa (23 bitov)

e = eksponent - število množenj z 2 (8 bitov)

3.14 : 2

1.57 : 2

> help eps
eps is a built-in constant

-- Built-in Variable: eps
   The machine precision. More precisely, `eps' is the largest relative spacing between
   any two adjacent numbers in the machine's floating point system. This number is obviously
   system-dependent. On machines that support 64 bit IEEE floating point arithmetic,
   `eps' is approximately  2.2204e-16.

> eps
eps =  2.2204e-16

(1 + ε) − 1 = ε

> (1+eps)-1
ans =  2.2204e-16

> (1+eps/2)-1
ans = 0

Ker pri deljenju eps z 2 zadnji bit odleti ven iz mantise (se odreže) izgubimo na natančnosti.

Relativna napaka je vedno manjša od strojnega ε-a

Računamo produkt

Zaradi približnosti poznamo ki je število x z neko napako δ_x

zato računamo

| δ_x | < < 1

| δ_y | < < 1

δ_xy = δ_x + δ_y

Deljenje

δx / y = δx − δy

Seštevanje/odštevanje

= x(1 + δ_x) + y(1 + δ_y) = = x + y + xδ_x + yδ_y =

(x + y)(1 + δ_{x + y})

x² − 73x + 1 = 0

x₁ = 72.886

x₂ = 0.0137

I_k > 0,I_k (padajoče) 0 ?!? .. kaj je kdo hotu tuki napisat?

x^k = u

e ^{− x}dx = dv

− e ^{− x} = v

for k=1:20
  
end

v tem primeru se napake z odštevanjem rekurzivno množijo

Računanje vrednosti polinoma

p = b(a);
t=1;
for i = 1:n
  t = t*x;
  p = p+t*b(i+1);
end

število operacij:

lahko ga izboljšamo:

p = a(n+1)
for i = n:-1:1
  p = p.*x + a(i);
end

število operacij: