Napaka polinomske interpolacije

<<Numerična matematika

Privzamemo, da obstaja funkcija na intervalu, ki vsebuje interpolacijske točke, je dovoljkrat odvedljiva in zadošča pogojem

f(x_i) = f_i;i = 0,1,...,n

Napaka interpolacijskega polinoma:

e(t) = p_n(t) − f(t)

Smiselno je izbrati točke t, ki so različne od interpolacijskih točk, saj vemo da v njih napake ni. Da bi našli izraz za napako, naj bo q_{n + 1}(u) interpolacijski polinom skozi točke , ki ga zapišemo:

q_{n + 1}(u) = p_n(u) + f[x₀,...,x_n,t]ω(u)

ω(u) = (u − x₀)...(u − x_n)

Napaka je torej:

e(t) = p_n(t) − f(t) = − f[x₀,...,x_n,t]ω(t)

Žal ne poznamo deljene diference f[...].... :( Poglejmo funkcijo:

φ(u) = f(u) − p_n(u) − f[x₀,...,x_n,t]ω(u)

ki je enaka 0 v vseh x_i in tudi v t.

Velja (glej razlago v knjigi, str. 87):

ω^{(n + 1)}(ξ) = (n + 1)!

Če vstavimo v zgornjo enačbo in preuredimo:

Izrek Naj bo funkcija f vsaj n+1-krat zvezno odvedljiva in naj bo p_n interpolacijski polinom stopnje skozi točke x_i;i = 0,...,n. Potem je

kjer ξ leži v najmanjšem intervalu, ki vsebuje točke x_i in t.