Metoda nedoločenih koeficientov

<<Numerična matematika

Iz napake traeznega pravila vidimo, da z njegovo pomočjo lahko natančno izračunamo integral vsakega linearnega polinoma. Konstruirajmo integracijsko formulo, ki bo natančno integrirala vse polinome, katerih stopnja ni večja od n:

Primer

Vzemimo integracijsko formulo

in določimo uteži a_i da bo formula točna za vse kvadratne polinome. Iz sistema linearnih enačb izračunamo (knjiga, str. 113) t.i. Simpsonovo integracijsko formulo:

Formula je natančna tudi za polinome 3. stopnje. Z vstavljanjem polinoma 4. stopnje izračunamo še konstanto napake:

Če simpsonovo pravilo uporabimo na intervalu, ki ga razdelimo na 2n enakih podintervalov, dobimo Simpsonovo pravilo:

Napaka je enaka:

kjer je ξ neka točka na (a,b).

Algoritem: Simpsonovo pravilo

Naj bo f zvezna funkcija na intervalu [a,b] in n neko naravno število. Algoritem izračuna približek S k vrednosti določenega integrala s pomočjo Simpsonovega pravila.

h=(b-a)/2*n)
S=f(a)+f(b)+4*f(a+h)
for i=1:n-1
     S=S+2*f(a+2*i*h)+4*f(a+2*i*h+h)
end
S=S*h/3