Mešani produkt

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Mešani produkt predstavlja prostornino paralelpipeda, ki ima stranici osnovne ploskve $\vec a$ in $\vec b$ ter stranico plašča $\vec c$ .
$(\vec a \times \vec b)\cdot \vec c = \left |\vec a \times \vec b \right | \cdot \left | \vec c \right | \cdot \cos \varphi= \pm V$
Plus uporabimo, ko je $\cos \varphi > 0$ (vektor $\vec a \times \vec b$ in vektor $\vec c$ sta na isti strani ravnine $ε$ , ki jo določata $\vec a$ in $\vec b$ ).
Minus uporabimo, ko je $\cos \varphi < 0$ (vektor $\vec a \times \vec b$ in vektor $\vec c$ sta na različnih straneh ravnine $ε$ , ki jo določata $\vec a$ in $\vec b$ ).

Če vemo komponente vsakega vektorja $\vec z = (z_1,z_2,z_3)$ , lahko izračunamo mešani produkt s pomočjo matrike in Sarusovega pravila:
$(\vec a , \vec b , \vec c )=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$

Lastnosti:

$(\vec a \times \vec b)\cdot \vec c = \vec a \cdot(\vec b \times \vec c)$ , kar označimo tudi kot $(\vec a , \vec b , \vec c )$ ali $[\vec a , \vec b , \vec c ]$
$(\vec a , \vec b , \vec c ) = (\vec b , \vec c , \vec a ) = (\vec c , \vec a , \vec b )$
$(\vec a , \vec b , \vec c ) = - (\vec b , \vec a , \vec c )$
$(\lambda\cdot\vec a , \vec b , \vec c ) = \lambda\cdot(\vec a , \vec b , \vec c )$
$(\vec a + \vec b , \vec c , \vec d) = (\vec a , \vec c , \vec d ) + (\vec b , \vec c , \vec d )$ oziroma $(\vec a + \vec b)\cdot(\vec c \times \vec d)=\vec a \cdot(\vec c \times \vec d )+\vec b \cdot(\vec c \times \vec d )$
$(\vec a , \vec b , \vec c )=0$ natanko tedaj ko so vektorji linearno odvisni