Linearne veččlenske metode

<<Numerična matematika

Adams-Bashforthove metode

k-členska Adams-Bashforthovo metoda:

Njena napaka je

C_{k + 1}h^{k + 1}y^{(k + 1)}(ξ_n)

Konstanti C_{k + 1} pravimo konstanta napake. AB metoga je metoda reda k. Za reševanje začetnega problema s k-člensko AB metodo potrebujemo poleg začetne vrednosti y₀ še k-1 vrednosti y₁,...,y_{k − 1}, ki jih moramo izračunati še z kakšno drugo metodo.

Koeficienti AB metod:

Algoritem: AB metoda

Naj bo y' = f(x,y) diferencialna enačba, y(x₀) = y₀ začetni pogoj, h korak in N naravno število. Naslednji algoritem izračuna zaporedne približke y_n k vrednostim rešitve y(x_n) diferencialne enačbe v točkah x_n = x₀ + nh;n = 1,...,N s pomočjo AB metode 4. reda.

y=y0
x=x0
d(1)=f(x,y)
for n=2:4
    x=x+h
    d(n)=f(x,y)
end

for n=4:N
    x=x+h
    y=y+h*(55*d(4)-59*d(3)+37*d(2)-9*d(1))/24
    d(5)=f(x,y)
    for j=1:4
        d(j)=d(j+1)
    end
end

Adams-Moultonove metode

k-členska Adams-Moultonova metoda:

Njena napaka je

Konstanti zopet pravimo konstanta napake. k-členska AM metoda je metoda reda k+1.

Metoda za k=0 je poznana kot implicitna Eulerjeva metoda: y_{n + 1} = y_n + hf_{n + 1}

Metoda za k=1 je poznana kot trapezna metoda:

Koeficienti AM metod:

Za razliko od AB metod, nastopa pri AM metodah neznana vrednost y_{n + 1} na obeh straneh enačbe, tako da moramo na vsakem koraku rešiti nelinearno enačbo. Metodam, pri katerih moramo vrednost y_n + 1 določiti kot rešitev enačbe, pravimo implicitne metode, medtem ko pri ekspliccitnih metodah (kot recimo AB metode) y_{n + 1} računamo direktno.

V praksi rešujemo enačbo z običajno iteracijo. Začetni približek dobimo z ustrezno eksplicitno AB metodo istega reda (prediktor). Če je začetni približek dovolj dober in je korak h dovolj majhen, je večinoma dovolj že ena iteracija (implicitni AM formuli pravimo korektor). Taka kombinacija je znana kot metoda kot prediktor-korektor.

Algoritem: ABM prediktor-korektor

Naj bo y' = f(x,y) diferencialna enačba, y(x₀) = y₀ začetni pogoj, h korak in N naravno število. Naslednji algoritem izračuna zaporedje približkov y_n k vrednostim točne rešitve y(x_n) diferencialne enačbe v izbranih točkah x_n = x₀ + nh;n = 1,...,N s pomočjo ABN metode prediktor-korektor 4. reda.

x=x0, y=y0
d(1)=f(x,y)
for n=2:4
    x=x+h
    d(n)=f(x,y)
end

for n=4:N
    x=x+h
    yp=y+h*(55*d(4)-59*d(3)+37*d(2)-9*d(1))/24
    dp=f(x,yp)
    y=y+h*(9*dp+19*d(4)-5*d(3)+d(2))/24
    d(5)=f(x,y)
    for j=1:4
        d(j)=d(j+1)
    end
end