Linearne rekurzivne enačbe s konstantnimi koeficienti
Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja
Definicija:
je homogena linearna rekurzivna enačba s konstantnimi koeficienti za zaporedje 
reda d. Za konkretno zaporedje potrebujemo še začetne pogoje: 
.
Trditev: Rešitve zgornje enačbe tvorijo vektorski prostor. Njegova razsežnost je d.
Definicija: Karakteristični polinom 
Naj bo 
Potem je splošna rešitev:
,
kjer je Ai(n) polinom stopnje 
Za kompleksne ničle:
,
kjer sta stopnji A(n) in A'(n) ter B(n) in B'(n) enaki.
Nehomogene linearne rekurzivne enačbe:
Splošna rešitev:
an = Zn + bn
Kjer je Zn rešitev homogenega dela, bn pa rešitev nehomogenega dela.
Izrek:
Če je desna stran nehomogene linearne rekurzivne enačbe (f(n)) oblike:
- f(n) = P(n)αn, kjer t je stopnja polinoma P(n) in α s-kratna ničla karakterističnega polinoma Q(n). Potem je: bn = nsP(n)αn
- f(n) = P(n)αn + R(n)βn + .... Potem je: bn = b'n + b''n + ..., kjer je b'n rešitev za P(n)αn, itd.
Sistemi rekurzivnih enačb:
Definicija:
an + 1 = Aan
kjer je A matrika, 
pa vektorja, je sistem linearnih rekurzivnih enačb s konstantnimi koeficienti in začetnimi pogoji v vektorju a0
Reševanje s pomočjo Jordanove forme:
A = PJP − 1
J je bločno - diagonalna matrika, kjer je število blokov enako številu različnih lastnih vrednosti matrike A.
Vsak blok je zopet bločno - diagonalna matrika (Jordanova kletka), kjer je število blokov enako številu linearno neodvisnih vektorjev za posamezno lastno vrednost, v vsakem bloku pa so nad diagonalo enice.
an = Ana0 = (PJP − 1)na0 = PJnP − 1a0
Reševanje s pretvorbo na enačbo višjega reda:
Iz posameznih enačb izrazimo določene člene, vse izražene člene vstavimo v eno enačbo (pri vstavljanju moramo paziti, da ustrezno zamaknemo indekse). Nato rešimo enačbo višjega reda po že opisanem postoku za reševanje linearnih rekurzivnih enačb s konstantnimi koeficienti
Primer naloge
Reši enačbo: an + 3 − an + 2 − 8an + 1 + 12an = 0
Q(x) = x3 − x2 − 8x + 12 = (x − 2)(x2 + x − 6) = (x − 2)2(x + 3) - imamo dvojno ničlo 2 in enojno ničlo -3
an = (An + B)2n + C( − 3)n - splošna rešitev
a0 = 1 = B + C
a1 = 11 = 2A + 2B − 3C
a2 = 15 = 8A + 4B + 9C
A = 2, B = 2, C = -1
an = (2n + 2)2n − ( − 3)n - posebna rešitev, ki ustreza začetnim pogojem
