Linearna diferencialna enačba drugega reda

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Linearna diferencialna enačba drugega reda je oblike

Homogena linearna diferencialna enačba 2. reda:

Primer: vzmet z utežjo ima enačbo oblike (homogena enačba drugega reda)

m a = F

m y'' = - k y

Vsebina

1 Lastnost
2 Nehomogena enačba
- 2.1 Reševanje

Lastnost

Če sta $y 1 (x)$ in $y 2 (x)$ rešitvi enačbe , potem je $c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x)$ tudi rešitev za .

y = c 1 y 1 + c 2 y 2

y' = c 1 y 1' + c 2 y 2'

y'' = c 1 y 1'' + c 2 y 2''

$y 1'' + p (x) y 1' + q (x) y 1 = 0$

$y 2'' + p (x) y 2' + q (x) y 2 = 0$

Izpostavimo $c 1$ in $c 2$ in dobimo v oklepaju zgornji dve enačbi, ki pa sta obe 0:

$c 1 (y 1'' + p (x) y 1' + q (x) y 1) + c 2 (y 2'' + p (x) y 2' + q (x) y 2) = 0$

Funkciji $y 1$ in $y 2$ sta linearno odvisni kadar je $c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) = 0$ in vsaj ena konstanta .

$y 1 = x, y 2 = 2 x$ sta linearno odvisni

Lahko najdemo tak par konstant, kjer ne bosta 0, da bo rezultat 0:

$2 y 1 (x) + ( - 1) y 2 (x) = 0$

Rešitev enačbe uteži na vzmeti:

$y = sin x$

$y' = c cos(c x)$

$y'' = - c 2 sin(c x)$

Iz $y 1$ in $y 2$ dobimo enačbo:

Recimo da sta p(x) in q(x) konstanti.

$y'' + p y' + q y = 0$

Iščemo rešitev v obliki $y = e k x$

$y' = k e k x$

$y'' = k 2 e k x$

Vstavimo v prvotno enačbo:

$k 2 e k x + p k e k x + q e k x = 0$

Izpostavimo $e k x$ :

$e k x (k 2 + p k + q) = 0$

Ker $e k x$ ne bo nikoli 0, moramo rešiti enačbo $k 2 + p k + q = 0$

Tej enačbi pravimo karakteristična enačba, kjer sta p in q števili, k pa je tudi število, ampak je neznanka. To je kvadratna enačba, ki ima dve rešitvi:

$D = p 2 - 4 q$

D > 0

Splošna rešitev:

D < 0

Eulerjeva formula:

$e i x = cos x + i sin x$

$z 2 + ω 2 = 0$

$D = - 4ω 2$

y 1 (x) = cosω x

y 2 (x) = sinω x

amortizerji

$y'' + c y' + k y = 0$

$z 2 + c z + k = 0$

šibko dušenje

močno dušenje

D = 0

$y'' + p y' + q y = 0$

$z 2 + p k + q = 0$

$D = p 2 - 4 q = 0$

$4 k 2 + 4 p k + p 2 = 0$

$(2 k + p) 2 = 0$

edina, dvojna rešitev karakteristične enačbe

uporabimo variacijo konstante

$u''(x) = 0$

torej je u linearna funkcija, zato si lahko izberemo

$u (x) = x$

Nehomogena enačba

y'' + p y' + q y = r (x)

Reševanje

Splošna rešitev je sestavljena iz spl. rešitve homogene + neke partikularne rešitve nehomogene.

y (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + y p (x)

r(x) polinom

$a n x n + a n - 1 x n + ... + a 1 x + a 0$

Primer

Poišči splošno rešitev enačbe

y'' + 4 y' + 3 y = x 2

homogena:

y + 4y' + 3y = 0

k^2 + 4k + 3 = 0

D = 16 - 3 \cdot 4 = 0

k_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4} }{2} = -3,-1

$y (x) = C 1 e - 3 x + C 2 e - x + y p (x)$

$y p (x) = A 2 x 2 + A 1 x + A 0$

$y' p (x) = 2 A 2 x + A 1$

$y'' p (x) = 2 A 2$

$2 A 2 + 4(2 A 2 x + A 1) + 3(A 2 x 2 + A 1 x + A 0) = x 2$

$3 A 2 x 2 + (8 A 2 + 3 A 1) x + 2 A 2 + 4 A 1 + 3 A 0 = x 2$

$8 A 2 + 3 A 1 = 0$

$2 A 2 + 4 A 1 + 3 A 0 = 0$

r(x) eksponentna funkcija

$y p (x) = e b x$

Primer

$y'' + 2 y' + y = (x + 1) e x$

homogena rešitev

$k 2 + 2 k + 1 = 0$ karakteristična enačba

$(k + 1) 2 = 0$

$k = - 1$

$y 1 (x) = e - x$

$y 2 (x) = x e - x$

y (x) = C 1 x - x + C 2 x e - x + y p (x)

partikularna rešitev

$y p = (A 1 x + A 0) e x$

$y' p = A 1 e x + (A 1 x + A 0) e x = (A 1 x + A 0 + A 1) e x$

$y'' p = (A 1 x + A 0 + 2 A 1) e x$

$(A 1 x + A 0 + 2 A 1) e x + 2((A 1 x + A 0 + A 1) e x) + A 1 x + A 0) e x = (x + 1) e x$

$4 A 1 x + 4 A 0 + 4 A 1 = x + 1$

$4 A 1 = 1$

$4 A 0 + 4 A 1 = 1$

$A 0 = 0$

Polinom in kotne funkcije

Če je $r (x) = p n (x)sin b x + q n (x)cos b x$

$y p (x) = P n (x)sin b x + Q n (x)cos b x$

Primer

$y'' + 2 y' + y = sin x$

$y p (x) = A cos x + B sin x$

$y' p (x) = - A sin x + B cos x$

$y'' p (x) = - A cos x - B sin x$

$- A cos x - B sin x + 2( - A sin x + B cos x) + A cos x + B sin x = sin x$

$( - A + 2 B + A)cos x + ( - B - 2 A + B)sin x = sin x$

$B = 0$

$- 2 A = 1$

Variacija konstant

Reševanje z variacijo konstant $y (x) = u 1 (x) y 1 (x) + u 2 (x) y 2 (x)$ deluje pri vseh r(x).

Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Linearna_diferencialna_ena%C4%8Dba_drugega_reda«

Kategorija: UL/FRI/UNI-RI/ANA2

Osebna orodja

Tiskanje/izvoz

orodja