Linearna diferencialna enačba

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Vsebina

1 Linearna diferencialna enačba 1. reda
2 Homogena linearna enačba
3 Nehomogena linearna enačba

Linearna diferencialna enačba 1. reda

Linearna enačba:

$a \cdot x = b$

Diferencialna enačba je linearna, če neznana funkcija in njeni odvodi nastopajo linearno.

Če je g(x) = 0

$y' = f (x) y$ homogena enačba

Homogena linearna enačba

Homogena lin. enačba ima ločljive spremenljivke.

$\left. \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot y \right| / \frac{dx}{y}$

$\int \frac{dy}{y} = \int f(x) dx \Rightarrow \log y = \int f(x)dx + \log C$

$y= Ce^{\int f(x)dx}$

Nehomogena linearna enačba

Recept

Nehomogeno lin. enačbo rešujemo z metodo variacije konstant. Rešitev iščemo v taki obliki kot je rešitev homogene enačbe, le da C ni več konstanta temveč funkcija x-a.

Namesto konstante C vzamemo neko funkcijo $μ(x)$

$y = \ (x) e^{\int f(x)dx}$

$y' = \mu' (x) \cdot e^{\int f(x) dx} + \mu(x) f(x) e^{\int f(x) dx}$

$\mu' (x) e^{\int f(x) dx} + \mu(x) f(x) e^{\int f(x) dx} = f(x) \mu(x) e^{\int f(x) dx} + g(x)$

$\mu' (x) e^{\int f(x) dx} = g(x)$

$\mu'(x) = g(x) e^{-\int f(x) dx}$

$y(x) = e^{\int f(x) dx} \int g(x) e^{-\int f(x) dx}dx + D e^{\int f(x) dx}$

Primer 1

$x y' + y + 4 = 0$

$y' = - \frac{1}{x}y - \frac{y}{x}$

$y' _H = - \frac{1}{x} y_H$

$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y_H | /$

$\frac{dy_H}{y_H} = - \frac{dx}{x}$

$log y H = - log x + log C$

$y_H = \frac{C}{x}$

$y = \frac{\mu(x)}{x}$

$y = \frac{\mu' }{x^2}$

$\frac{\mu'(x) \cdot x }{x'} = \frac{1}{x} - \frac{4}{x}$

$\frac{\mu'(x)}{x} = - \frac{4}{x} \Rightarrow \mu'(x) = -4 \Rightarrow \mu(x) = -4x D$

$y = \frac{-4x+D}{x} = -4 +\frac{D}{x}$

Primer 2

$y' = - y \cdot \tan x + \sin 2x$

Rešimo najprej homogeno enačbo:

$y' H = - y H tan x$

$\frac{dy_H}{dx} = -y_H \tan x$

$\int {dy_H}{y_H} = - \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$

$log y H = logcos x + log C$

$y_H = C \cdot \cos x$

Rešimo še nehomogeno enačbo:

$y = \mu(x) \cdot \cos x$

$y' \mu'(x) \cdot \cos x + \mu(x) (-\sin x)$

$\mu'(x) \cdot \cos x - \mu(x) \sin x = - \mu (x) \cos x \frac{\sin x}{\cos x} + \sin 2x$

$\mu'(x) \cdot \cos x = \sin 2x$

$\mu'(x) = \frac{\sin 2x}{\cos x}$

$\mu(x) = 2 \int \sin x \,dx = -2 \cos x + D$

$\!y = -2 \cos ^2 x + D \cos x$

$y' = 2 \cdot 2 \cdot \cos x \cdot \sin x - D \cdot \sin x$

$\! +2 \cos ^2 x \tan x - D \cos x \tan x + \sin 2x$

$=2 \cos^2 x \frac{\sin x}{\cos x} \cdot D \cos x \frac{\sin x}{\cos x} + 2 \sin x \cos x$

$\! =4 \cos x \sin x - D \sin x$

$y' + y tan x = sin2 x$

$y' = f (x) y + g (x)$

$y = \int g(x) e^{- \int f(x) dx} dx + De^{\int f(x) dx}$

Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Linearna_diferencialna_ena%C4%8Dba«

Kategoriji: UL/FRI/VSP-RI/ANA2 | Matematika

Osebna orodja

Tiskanje/izvoz

orodja