LU razcep

U je zgornja trikotna matrika, ki smo jo dobili iz gaussove eliminacijske metode. Definirajmo spodnjo trikotno matriko L = [m_ik]; m_ik je faktor, s katerim smo množili k-to vrstico, preden smo jo odšteli od i-te ; na glavni diagonali pa naj bodo enke. Velja LU = A.

Če smo matriko A razcepili v produkt LU, lahko sistem zapišemo kot LUx = b, ki ga rešimo v dveh korakih. Najprej z direktnim vstavljanjem rešimo spodnje trikotni sistem Ly = b s pomožnim vektorjem y = Ux, nato pa še z obratnim vstavljanjem zgornje trikotni sistem Ux = y.

Primer

Razširjena matrika sistema:

  3  2  5  1 |   1
  6  6 15  3 |  -6
 -3  4 13  1 | -17
 -6  6 15  5 | -52

U:

 po 1. koraku  |   po 2. koraku
               |
 3  2  5  1    |    3  2  5  1
 0  2  5  1    |    0  2  5  1
 0  6 18  2    |    0  0  3 -1
 0 10 25  7    |    0  0  0  2

L:

  1  0  0  0
  2  1  0  0
 -1  3  1  0
 -2  5  0  1

rešimo sistem Ly = b

y: 1, -8, 8, -10

nato pa še Ux = y

x: 3, -4, 1, -5