Kompleksna funkcija

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje
Definicija
Preslikava f:D \rightarrow\mathbb{C}, kjer je D podmnožica kompleksnih števil, ki se imenuje kompleksna funkcija ali funkcija konpleksne analize.
Primer
f(z) = z2 − 2i
f(i) = − 1 − 2i
f(7) = 49 − 2i
f(2 − i) = 4 − 4i − 1 − 2i = 3 − 6i
Opomba
Graf funkcije kompleksne spremenljivke je podmnožica v \mathbb{R}^4

Kompleksno funkcijo lahko zapišemo kot vsota realnega in imaginarnega dela.

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\qquad z=x+iy

Pri čemer sta u,\ v realni funkciji dveh spremenljivk.

Primer
f(z) = z^2 - 2i \qquad z = x+ iy
= (x + iy) − 2i
= x2 + 2xyi − y2 − 2i
x2 − y2 + i(2xy − 2)
u(x,y) = x^2 - y^2\qquad v(x,y) = 2xy - 2


Če pa sta funkciji zapisani v obliki

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

Kako dobiti zapis s funkcijo z (brez x in y).

Primer
f(z) = x2 + y2 + i(2xy − 2)
z = x + iy \qquad \overline z = x - iy
x = \frac{z + \overline z}{2} \qquad y = \frac{z - \overline z}{2i}
f(z) = \frac{(z + \overline z)^2}{4} - \frac{(z - \overline z)^2}{-4} + i\left(2 \cdot \frac{z + \overline z}{2} \cdot \frac{z - \overline z}{2} - 2 \right) =
= \frac{z^2 + 2z\overline z + \overline z^2}{4} + \frac{z^2 - 2z\overline z + \overline z^2}{4} + \frac{2\overline z^2 - 2\overline z^2}{4} =
= 2i\,\!


| z − z0 | je razdalja med kompleksnim številom z in z0

(Slika: Razdalja med C številoma) Torej | z − z0 | < ε pomeni, da je kompleksno število z oddaljeno od z0 za manj kot ε

Množica vseh takih z je ravno krog z polmerom ε brez roba.

(Slika: Krog okrog z0) Množica z, za katero velja | z − z0 | < ε imenujemo ε-okolica števila z0
Definicija
Kompleksna funkcija f je zvezna v točki z0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da je | f(z) − f(z0) | < ε, čim je | z − z0 | < δ.
Definicija
Kompleksno število w0 je limita funkcije f v točki z0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0 da je | f(z) − w0 | < ε, čim je | z − z0 | < δ.


Limita obstaja, če dobimo isto vrednost neglede na to po kateri poti se bližamo z0

Izrek
Naj bosta kompleksni funkciji f in g realni, potem so realne tudi f + g, f - g, \mbox{f}\cdot\mbox{g}, f/g če g\ne 0
Izrek
Kompleksna funkcija f = U + V, kjer sta U realni in V imaginarni del, je realna natanko tedaj, ko sta realni tudi U in V.
Izrek
Če je f realna kompleksna funkcija na zaprtem intervalu in omejenem območju, potem je f omejena.
Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Kompleksna_funkcija«
Osebna orodja
Imenski prostori
Različice
Dejanja
navigacija

Tiskanje/izvoz
orodja