Integral s parametrom

Uvod

Integral s parametrom

je integral funkcije dveh spremenljivk, pri čemer eno spremenljivko (parameter) fiksiramo.

Primer

Zapišemo

je funkcija spremenljivke y, to funkcijo imenujemo integral s parametrom
Še splošneje je integral s parametrom

Zveznost

Izrek

Naj bo f(x,y) zvezna funkcija spremenljivke y.
Potem je zvezna funkcija

Dokaz

Ker je f(x,y) zvezna funkcija za vsak ε > 0
obstaja δ > 0, da je | f(x,y + h) − f(x,y) | < ε
če je le | h | < δ

Odvedljivost

Izrek

Naj bo

(parcialni odvod po y) zvezna funkcija

Potem je

odvedljiva funkcija in velja:

Izrek

Naj bo

zvezna funkcija.

Potem je

Dokaz

Tu uporabimo Lagrangejev izrek
ker je fy zvezna, pišemo:
in ker
je s tem izrek dokazan

Splošno

Zanima nas odvod integrala s parametrom

oz.

Izrek

Naj bo zvezna funkcija in u,v odvedljivi funkciji.

Potem je

Ce zamenjamo spremenljivki

Pri odvajanju integrala F(y), lahko najprej odvajamo f(x,y) po parametru y in za tem šele integriramo po integralni spremenljivki x.

Dokaz

To odvajamo in uporabimo Osnovni izrek analize

Integracija

Izrek

Naj bo f(x,y) zvezna f-ja spremenljivke x na [a,b] in zvezna funkcija spremenljivke y na [c, d].

Potem je

Torej lahko zamenjamo vrstni red integriranja

[Brez dokazov]

Neskončne meje

Neskončne meje pri navadnem integrrali:

(Potreben ?) pogoj je konvergenca, limita mora obstajati.

Zanima nas neskončni integral funkcije z dvema spremenljivkama.
V tem primeru mora obstajati posplošeni integral za vsak y.

Definicija

Integral

je enakomerno konvergenten, če za vsak ε > 0 obstaja tak M > 0, da je

za vsak
Enakomerno konvergenten pomeni, da gredo vse funkcije F(y) proti 0.

Enakomerna konvergenca

Izrek

Naj bo

za vsak y

in konvergenten

Potem je

enakomerno konvergenten

Dokaz

(To je v bistvu enakomerna konvergenca)

Zveznost

Izrek

Naj bo integral

Enakomerno konvergenten.

Potem je F zvezna funkcija.

Dokaz

Prvi del je majhen, ker je f zvezna funkcija.
v drugem je pa pri istem M majhno, ker je f zvezna funkcija

Opomba

Če integral

ni enakomerno konvergenten, funkcija F(y) ni nujno zvezna.

Pri delu vedno predpostavimo, da so funkcije zvezne in v primeru "problemov", so lahko meritve napačne, ali funkcije ne ustrezajo pogojem (niso zvezne, konvergentne, enakomerno konvergentne ..)

Primer

Ali integral F(y) obstaja za vsak y ?

y = 0

y > 0

Torej f ni zvezna funkcija. Integral konvergira, vendar ne enakomerno konvergira.

Integracija

Izrek

Če je

enakomerno konvergenten

Potem lahko zamenjamo vrstni red integriranja

Izrek

Naj bo integral

konvergenten za vsak y > 0.

Naj bo

zvezna funkcija.

Če je integral

enakomerno zvezen,

potem je

Konvergentno in drugi je enekomerno konvergenten

Primer

dobimo D.E. 2. reda → rešimo

dobimo

Primer

Opomba