Integracija v kompleksni ravnini

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Naj bo $f$ kompleksna funkcija. Integral funkcije $f$ po neki krivulji $C$ v kompleksni ravnini je definiran kot limita integralskih vsot

$\sum_{k=1}^n f(z_k) \Delta z_k \ \!$

Integral kompleksne funkcije izračunamo kot krivuljni integral druge vrste realne vektorske funkcije

$\int_C f(z) \mbox{d}z = \int_C (u + \mbox{i}v)(\mbox{d}x + \mbox{i}\ \mbox{d}y)\ \!$

$=\int_C u\ \mbox{d}x + \mbox{i}u\ \mbox{d}y + \mbox{i}v\ \mbox{d}x - v\ \mbox{d}x\ \!$

Opomba: Na ta način bomo reševali predvsem funkcije, ki niso analitične. Če je funkcija analitična, potem velja C. - R. pogoj, potem je integral neodvisen od poti.

Izrek: (Cauchy) Če je $f (z)$ analitična funkcija in $f'(z)$ zvezna na območju $D$ , potem je integral funkcije $f$ na tem območju neodvisen od poti

Dokaz

Integral po krivulji

C

$\oint_C f(z) \mbox{d}z = \oint_C u\ \mbox{d}x - v\ \mbox{d}y + i\oint_C r\ \mbox{d} r + u \ \mbox{d}y = 0$

Greenova formula in Cauchy-Riemannov pogoj

Ocena integrala

Naj bo $f$ omejena na krivulji $C$ , torej $| f (z) | < M$ za vsak $z \in \mathbb{C}$ . Denimo:

$\left|\int_C f(z)\right|\le\int_C|f(z)|\ \mbox{d}|z| = \int_C\left|f(z)\right|\ \mbox{d}|s|\le M\int_C\mbox{d}s = M \cdot l$

l

... dolžina krivulje

C

Primer: $\int_C \frac{1}{z}\ \mbox{d}z \qquad\qquad C\ \!$ - krožnica s polmerom $r$ (slika v koml. ravn.); $f(z) = \frac{1}{z}\qquad\qquad |f(z)| = \frac{1}{|z|}\ \!$; $\left| \int_C \frac{1}{z} \mbox{d}z \right| \le \int_C |f(z)|\ \mbox{d}s = \frac{1}{r} \int_C\mbox{d}s = \frac{1}{r} 2\pi r = 2\pi$

Izračunajmo integral

$\oint \frac{1}{z-z_0}\mbox{d}z;\qquad\qquad C$ = krožnica

Naj bo $z - z_0 = r \mbox{e}^{i\varphi}$ (krožnica s središčem v $z 0$ in polmerom $r$

$z = z_0 + r \mbox{e}^{i\varphi}\ \!$

$\mbox{d}z = i r \mbox{e}^{i\varphi} \mbox{d}\varphi$

$\oint \frac{1}{z-z_0}\mbox{d}z = \int_0^{2\pi} \frac{1}{r e^{i\varphi}}\cdot r \mbox{e}^{i\varphi}i\ \mbox{d}\varphi = \left. i\varphi\right|_0^{2\pi} = i 2\pi$

Izračunajmo še integral

$\oint \frac{1}{(z-z_0)^n} \mbox{d}z$ ,

pri čemer je $n > 1$ , $n\in \mathbb{N}$ . Pravzaprav pokažimo, da je ta integral enak nič, za vsak $n$

$\left|\oint_C \frac{1}{(z-z_0)^n} \mbox{d}z\right| \le \left| \oint_C \frac{r \mbox{e}^{i \varphi} i}{(r \mbox{e}^{i \varphi})^n} \mbox{d}\varphi \right| =$

$= \left| \oint_C \frac{\mbox{e}^{i \varphi(-1-n)}}{r^{n-1}} i \mbox{d}\varphi \right| \le \oint \frac{1}{r^{n-1}} \mbox{d}\varphi = \frac{1}{r^{n-1}} \cdot 2\pi \rightarrow 0$

Izrek

(cauchyeva formula)

Naj bo

f (x)

analitična funkcija na območju

D

C

krivulja, ki je sklenjena. Naj bo

z 0

element tega našega območja.

(slika:območje zaključeno s krivuljo C na območju pa točka z_0)

Naj bo $z_0 \in D$ in znotraj sklenjene krivulje, potem pa je

Opomba: Vrednost analitične unkcije v neki notranji točki območja, je natanko določena z vrednostimi funkcije na robu tega območja.

Dokaz

(slika:območje zaključeno s krivuljo C na območju pa krog z radijem r in središčem radija v Z_0)

$\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}\ \mbox{d}z = \oint \frac{f(z_0)}{z-z_0}\ \mbox{d}z + \oint_C \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\ \mbox{d}z$ $\oint_C \frac{f(z_0)}{z-z_0}\ \mbox{d}z = f(z_0)\oint \frac{\mbox{d}z}{z-z_0} = 2\pi i$

Dokazati moramo še, da je

$\oint_C \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\ \mbox{d}z = 0 \Rightarrow$ Ocenimo!

$\left|\oint_C \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\ \mbox{d}z\right| \le \oint_C \frac{|\overbrace{f(z)-f(z_0)}|}{|\underbrace{z-z_0}|}\ |\mbox{d}z| \le \frac{\epsilon}{\delta} \cdot 2\pi \delta = 2\pi \epsilon\Rightarrow (\epsilon, \delta \rightarrow 0 )\Rightarrow 0$

Izrek: Cauchyeva formula velja tudi za odvode. Naj bo $f (z)$ amalitična funkcija na območju $D$ in tudi na robu $C$ , ki naj bo sklenjena krivulja in naj bo $z_0 \in D$ . Potem je funkcija v $z 0$ neskončnokrat odvedljiva in velja; $f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\ \mbox{d}z$ .

Dokaz

Dokažimo formulo za

n = 1

$f'(z_0) = \lim_{\Delta z\to \infty} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} =$

$= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{1}{\Delta z} \left( \frac{1}{2 \pi i}\oint\frac{f(z)\ \mbox{d}z}{z - (z_0 + \Delta z)} - \frac{1}{2 \pi i}\oint\frac{f(z)}{z-z_0}\right) \mbox{d}z$

$= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{1}{\Delta z - 2\pi i}\oint \left( frac{f(z)}{z - z_0 - \Delta z} - \frac{f(z)}{z-z_0}\right) \mbox{d}z$

$= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{1}{\Delta z}\cdot\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{z f(z) - z_0 f(z) - z f(z) + z_0 f(z) - \Delta z f(z)}{(z - z_0 - \Delta z)(z-z_0)} \mbox{d}z$