Greenova formula
Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja
- Izrek
- Naj bo D območje v ravnini xy, katerega rob je zaključena krivulja c, ki je odsekoma gladka.
- Naj bosta
parcialno zvezno odvdljivi funkciji.
Potem velja:
Integriramo v pozitivni smeri
(slika Ploskev D objeta z robom c)
- Dokaz
(slika potek integriranja na ploskvi)
Podobno
Dobljeni velikosti seštejemo in dobimo rezultat.
Če je območje bolj komplicirano, ga razbijemo na manjša območja.
- Primer
| (Slika razdeljenega območja) | Integriramo v pozitivni smeri - ko hodimo po krivulji mora biti območje na levi. |
Območje razdelimo na manjše dele. Dvojni integral je vsota dvojnih integralov podobmočij, pri krivuljnih integralih pa se dodatni deli krivuljnega integrala med seboj odštejejo, ker gremo po krivulji enkrat v eno smer in enkrat v drugo smer.
- Primer
| (Slika območja) |
|
- Velja
- Podobno za
- Izraza seštejemo in delimo z 2 ter dobimo
Zapišimo še eno zvezo s pomočjo Greenove formule.
- Naj bo w funkcija dveh spremenljivk.
- Prvi del je gradw, drugi del pa normalni vektor pravokoten na krivuljo.
