Funkcija slučajne spremenljivke

Če je X slučajna spremenljivka in f poljubna realna funkcija , lahko definiramo kompozitum oz. novo preslikavo Y, določeno s predpisom Y(t) = f(X(t)).

Če naj bo Y zopet slučajna spremeljivka, mora veljati:

V tem primeru pravimo, da je Y funkcija slučajne spremenljivke X, kar lahko krajše zapišemo kot Y = f(X)

Primer

Slučajna spremenljivka Z je porazdeljena standardizirano normalno. Poiščite porazdelitvi slučajnih spremenljivk X = e^Z in Y = Z². Poimenujte porazdelitev slučajne spremenljivke Y.

Postopek in rešitev

X = e^Z

Y = Z²

f(x) = e^x

Poiščimo porazdelitev slučajne spremenljivke X:

Izračunajmo inverzno funkcijo od f(x) = e^x:

x = e^y

, torej mora biti x > 0

Izračunajmo odvod inverzne funkcije:

Gostota porazdelitve slučajne spremenljivke X = e^Z je torej:

Poiščimo še porazdelitev slučajne spremenljivke Y:

Izračunajmo inverzno funkcijo od f(x) = x²:

x = y²

iz česar sledi, da mora biti .

Izračunajmo odvod inverzne funkcije:

Gostota porazdelitve slučajne spremenljivke Y = X² je torej:

pY(y)

Opomba. Zgornja pot ni pravilna, ker funkcija f(x) = x² ni injektivna, in torej ne moremo izračunati njenega inverza... Pravilen rezultat sicer ni daleč od napisanega, pod korenom mora namesto 8 biti 2...