Elementarne kompleksne funkcije

Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja

Skoči na: navigacija, iskanje

Definirajmo funkcijo $e z$ tako, da bo veljalo:

$\frac{\mbox{de}^z}{\mbox{d} z} = \mbox{e}^z\,\!$
$e z$ analitična
$e z$ naj bo enako $e x$ , če je $z = x + i y$ , torej $y = 0$

Ker je $e z$ analitična, velja

e z = u + i v

u x = v y

u y = - v x

Ker je $(e z)' = e z$ dobimo

u = u x

in

v = v x

Primer

Rešimo

u = u x

$u(x,y) = \mbox{e}^x \cdot \mbox{G}(y)$

u y = - v x = - v

u y y = - v y = - u x = - u

Torej

u y y = - u

, sledi

u y y + v = 0

$u_y = \mbox{e}^x \cdot \mbox{G}'(y)$

$u_{yy} = \mbox{e}^x \cdot \mbox{G}''(y)$

$\mbox{e}^x \cdot \mbox{G}''(y) + \mbox{e}^x \cdot \mbox{G}'(y) = 0$

G''(y) + G'(y) = 0

λ 2 + 1 = 0

$\lambda_{1,2} = \pm \mbox{i}$

G (y) = A cos y + B sin y

u (x, y) = e x (A cos y + B sin y)

v (x, y) = - u y = - e x ( - A cos y + B sin y)

$y=0\quad \Rightarrow \mbox{e}^z = u + \mbox{i}v = \mbox{e}^x(A + 0) + \mbox{i}(-\mbox{e}^x\cdot B)$

$\mbox{e}^x = A\mbox{e}^x - \mbox{i}B\mbox{e}^x \Rightarrow A = 1, B = 0$

Dobili smo:

 $e z = e x + i y = e x (cos y + isin y)$

Naj bo bo $x = 0$ in $y \in \mathbb{R}$

$\mbox{e}^{iy} = \cos y + \mbox{i}\sin y\,\!$

$|\mbox{e}^{iy}| = \sqrt{\cos y + \mbox{i}\sin y} = 1$

Splošno:

polarni zapis s pomočjo funkcije $\mbox{e}^{i\varphi}$

A) TRIGONOMETRIČNE FUNKCIJE

B) HIPERBOLIČNA FUNKCIJA

C) LOGARITMSKA FUNKCIJA

je inverzna funkcija

e z

. Toda

$\mbox{e}^z = \mbox{e}^x(\cos y + \mbox{i}\,\sin y) =$

$= \mbox{e}^x(\cos(y + 2k\pi) + \mbox{i}\,\sin(y + 2k\pi)) =$

$\mbox{e}^{x + \mbox{i}\,(y + 2k\pi)}$

Eksponentna funkcija

e z

ni injektivna, saj je celo periodična, zato moramo biti pri definiranju univerza previdni.

Naj bo $w = \mbox{log} z;\qquad z = \mbox{e}^w$

w = u + i v

$z = \mbox{e}^{u + \mbox{i}v} = \mbox{e}^u \cdot \mbox{e}^{iv}$

Sledi

$w = \mbox{log} z = u + \mbox{i}v = \mbox{log} |z| + \mbox{i}(\varphi + 2k\pi)$

 - LOGARITEM V KOMPLEKSNEM

Če je

k = 0

, to imenujemo glavna vrednost

log z

Primer

$\mbox{log}\,\mbox{i} = \mbox{log}|\mbox{i}| + \mbox{i}(2k\pi + \varphi) =$

$= \mbox{log} 1 + \mbox{i}(\frac{\pi}{2} + 2k\pi) =\,\!$

$= \mbox{i}(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)\,\!$

D) POTENCA KOMPLEKSNEGA ŠTEVILA

Primer: $\mbox{i}^i = \mbox{e}^{\mbox{i log i}} = \mbox{e}^{i \cdot i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)} = \mbox{e}^{-(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)}\,\!$

Glavna vrednost $\mbox{i}^i = \mbox{e}^{-\frac{\pi}{2}}$

Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Elementarne_kompleksne_funkcije«

Kategoriji: UL/FE/UNI-ELT/MAT3 | Matematika

Osebna orodja

Tiskanje/izvoz

orodja