Ekstremi
Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja
Točka (a,b), kjer je (grad f)(a,b)=0 se imenuje kritična ali stacionarna točka funkcije f.
Funkcija f(x,y) ima v točki (a,b) lokalni minimum, če je f(x,y) ≥ f(a,b) v neki dovolj majhni okolici točke (a,b), tj. za vsak (x,y): (x-a)2 + (y-b)2 < σ2, kjer je σ dovolj majhen.
Funkcija f(x,y) ima v točki (a,b) lokalni maksimum, če je f(x,y) ≤ f(a,b) v neki dovolj majhni okolici točke (a,b).
Potrebni pogoji za lokalni ekstrem v točki (a,b):
Če je funkcija odvedljiva je v ekstremu odvod vedno nič. f''a) = 0
Drugi odvod
f''(a) < 0
- lokalni maksimum (strogi)
f''(a) > 0
- lokalni minimum (strogi)
Vsebina |
Funkcija dveh spremenljivk
Lokalni maksimum
z = f(x,y) ima v (a,b) lokalni maksimum, ko obstaja takšna epsilon okolica točke (a,b) da je v vsaki točki te okolice vrednost funkcije manjša kot v točki a,b:
Lokalni minimum
Stacionarna točka
Stacionarno točko dobimo takrat, ko sta oba odvoda enaka 0.
Določanje ekstrema
izračunamo z determinanto:
- > 0 ekstrem je
- < 0 ekstrema ni
Vezani ekstremi
Vezani smo na pot definirano z neko funkcijo. Npr: g(x,y)=0
- z = f(x,y)
- pot
- g(x,y)=0
- omejitve
Primeri
z(x,y) = x + y
xy − 1 = 0
x2 = 1
Lagrangeova funkcija
Primeri
L(x,y,λ) = x + y + λ(x2 + y2 − 1)
1 = 2λ2
f(x,y) = x2 + y2 − xy + x + y
imamo trikotnik
A(0,0) B(-3,0) C(0,-3)
|
-------+----
\####|
\###|
\##|
\#|
\|
|
poiščimo ekstreme v tem trikotniku
Pogledamo točke:
- fmin = − 1za( − 1,1)
Pogledamo meje:
- A - B
- g(x,y) = y
f1(x) = f(x,0) = x2 + x
f1'(x) = 0
(x2 + x) = 0
2x + 1 = 0
- A - C
f2(y) = f(0,y) = y2 + y
- B - C
L(x,y,λ) = x2 + y2 − xy + x + y + λ(x + y + 3)
3x − 3y = 0
x + y + 3 = 0
dobimo točko:
f(0,0) = 0
f(-3,0) = 6 maksimum
f(0,-3) = 6 maksimum
Primeri
- tu ekstrema ni
z = x^2 + y^2 - xy + x + y
− y + 1 + 4x + 2 = 0
3y = − 3
Imamo eno stacionarno točko. V točki lokalnega minimuma z(-1,-1) ima funkcija vrednost 1.
ekstrem je in ker je A>0 je v točki T(-1,-1) lokalni minimum.
Ima funkcija z = (x − y)2 kakšen lokalni minimum?
Premica x = y ima stacionarne točke.
Presek po x-y:
- (x − y)2 = x > 0
- y = − x
- z(x, − x) = (x − ( − x))2 = 4x2
Ne dobimo strogih minimumov, temveč samo minimume, kateri so vzporedne premice.
Prilagajanje premice nekim podatkom ("fitanje" krivulje)
- a1 + x1b = y1
- a2 + x2b = y2
- a3 + x3b = y3
- a4 + x4b = y4
| x1,y1 | ° | x2,y2 | ° | x3,y3 | ° | x4,y4 | ° | +---------------------
Izračunamo minimum
Preizkus s podatki:
